ЕГЭ Математика

Экономические задачи на кредиты

Кредит – это некая сумма денег, взятая под процент, которую необходимо вернуть в течении установленного времени.

Схема начисления происходит по формуле сложного процента.

$\mathrm{FV}=\mathrm{PV}·{(1+p)}^n$

Схемы погашения кредитов делятся на два типа: равномерный и неравномерный платежи.

Равномерный платеж означает погашение кредита одинаковой суммой в течение установленного строка. Неравномерный платеж – погашение кредита неравными суммами денег.

Задача №1

15 июля 2019 года Алина взяла в банке 117 600 рублей в кредит на покупку нового ноутбука под 10% годовых. Схема выплат:

• - 15 июля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга;

• - с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Какой должна быть сумма выплат, чтобы Алина выплатила долг двумя равными платежами?

Решение

Пусть х - это сумма выплаты.

Год	Начисление процента	Долг
1	117 600(1 + 0,1) = 129 360	129 360 - х
2	(129 360 – х)(1 + 0,1) = 142 296 – 1,1х	142 296 – 1,1х – х = 0

142 296 – 1,1х – х = 0

141 296 = 2,1x

x = 67 760

Ответ: 67 760

Задача №2.

Взяли кредит на целое число тысяч рублей на 3 года. В январе каждого года накопленный к тому моменту долг заемщика увеличивается на 15%. В первый год выплачивались лишь проценты по кредиту, во 2–ой и 3–ий года заемщик выплатил одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 50 тысяч.

Решение

Пусть сумма кредита S, а одинаковые суммы выплат Х.

Год	Начисление процента	Выплаты	Долг
1	S · (1 + 0,15) = S · 1,15	S · 0,15	S · 1,15 - S· 0,15 = S
2	S · (1 + 0,15) = S · 1,15	Х	S · 1,15 - Х
3	(S · 1,15 – Х) · (1 + 0,15) = S · 1,152 – Х · 1,15	Х	S · 1,152 – Х · 1,15 – Х = 0

Сумма выплат должна быть меньше 50 тысяч.

S · 0,15 + 2Х < 50

$\left\{\begin{array}{l}S\cdot {\mathrm{1,15}}^2-X\cdot \mathrm{1,15}-X=0\\ S\cdot \mathrm{0,15}+2X<50\end{array}\right.$

$S\cdot \mathrm{0,15}+2\frac{S\cdot {\mathrm{1,15}}^2}{\mathrm{2,15}}<50$

$S<\frac{\mathrm{107,5}}{\mathrm{2,795}}$ .

По условию S – целое. Неравенство выполнится если S = 38 тысяч рублей.

Ответ: 38