Физика

Задачи 1, 2 (уравнение состояния идеального газа)

 

Сегодня мы потренируемся в решении задач по теме «Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика» и потренируемся применять модели, в которых мы связали параметры движения молекул (то есть микропараметры) с поддающимися измерению параметрами тела как целого (то есть макропараметрами), а также модели энергии и работы, которые мы применили для описания газов. При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики:

 

1. Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
2. Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений, выбрать систему координат. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
3. Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

Задача 1. Бутылку закрыли пробкой, площадь сечения которой равна . Чтобы вытащить пробку, нужно приложить силу 10 Н. До какой температуры нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Начальная температура в бутылке равна .

Анализ условия. Давайте разберемся, что же происходит в задаче. Бутылку закрыли пробкой, нагрели, и пробка вылетела. Почему она могла вылететь? Когда бутылку закрыли, в ней был воздух (ни о каком другом содержимом не сказано). К воздуху в нормальных условиях мы можем применять модель идеального газа. И теперь смотрите: бутылка закрыта пробкой, количество воздуха в ней не меняется. При этом не меняется и объем, бутылка не растягивается. Значит, можем применять модель изохорного процесса: газ нагревается, и давление увеличивается. Из-за этого увеличения давления пробка и вылетает – рассмотрим подробнее, что происходит с пробкой.

Указана сила, при действии которой пробка вылетит. А что создает силы, действующие на пробку? Давление нагретого воздуха изнутри пробки и атмосферное давление снаружи. Так как давление, по определению, – это сила, деленная на площадь, , так что эти силы мы сможем вычислить.Что пробка некоторое время движется внутри горлышка и объем воздуха немного изменяется – этими небольшими изменениями пренебрегаем и считаем, что при достижении порога пробка вылетит.

Физическая часть решения. Применим уравнение для изохорного процесса: первое состояние – в начале нагревания, а второе – в момент вылета пробки:

До того как бутылку закрыли, давление в ней было равно атмосферному – заменим: .Изобразим силы, действующие на пробку: создаваемая атмосферным давлением и давлением воздуха в бутылке (см. рис. 1).

Рис. 1. Физическая часть решения задачи 1

Их равнодействующая – это и есть необходимая по условию сила :

Запишем в проекции на ось, сонаправленную с равнодействующей, сразу расписав:

Получили простую систему из двух уравнений, которую осталось решить в математической части решения задачи. Выразим из второго уравнения давление и подставим в первое:

Вычислим, не забывая перевести начальные температуру, давление и площадь пробки в СИ:

Или, если перевести в более привычные нам градусы Цельсия, получим .

 

Задача 2. При температуре  давление газа в баллоне равно 1,8 МПа. Если давление в баллоне превышает 2 МПа, автоматический клапан открывается и выпускает часть газа. Сколько процентов газа выйдет из баллона, если температура в помещении поднимется до ?

Анализ условия. В задаче описаны процессы, которые происходят с газом в баллоне, опишем его как идеальный газ. Какую модель применить к процессам?Газ нагревается, его давление увеличивается, к тому же открывается клапан и часть газа выходит, значит, изменяется масса газа. Так как изменяется масса газа, нужно применять уравнение состояния идеального газа, оно учитывает массу. «Сколько процентов газа выйдет» – имеется в виду, какой процент от массы или от количества вещества (не важно, они все равно пропорциональны).

Физическая часть решения. Применим уравнение состояния идеального газа для двух состояний: начального, описанного в условии, и конечного.В первом состоянии газ с массой  при давлении  и температуре  (перевели сразу в кельвины) находится в баллоне объемом :

Во втором состоянии рассматриваем тот же баллон тем же объемом , только теперь температура достигла температуры воздуха в комнате , давление достигло , а часть газа вышла, то есть остался газ массой .

Получили систему уравнений, которую осталось решить, сделаем это в ответвлении. А ответ получим 7,4 %.

---

 

Математическая часть решения задачи 2

Решим систему уравнений:

Разделим первое уравнение на второе:

Объем баллона один и тот же, он сокращается, как и молярная масса (это один и тот же газ) и газовая постоянная .

Остается выразить изменение массы.

Подставим значения и вычислим:

Получили часть от начальной массы, или в процентах это равно 7,4 %.

---

 

Второй способ решения задачи 2

Процесс, который происходит с газом, можно было разделить на два этапа, которые явно отличаются: до открытия клапана, который выпускает газ, и после. В таком случае у нас три состояния: начальное, в момент открытия клапана и конечное.

До открытия клапана количество газа (или его масса) не изменялись, значит, можно применять модель изопроцессов. В данном случае газ в баллоне, у него фиксированный объем, применяем модель изохорного процесса (опишем переход из состояния 1 в состояние 2).

Когда клапан открывается, начинает уменьшаться количество молекул газа в баллоне. Макропараметры газа связаны с его количеством (или массой, они все равно пропорциональны) с помощью уравнения состояния идеального газа:

Будем применять уравнение к газу в состоянии 2 (когда клапан только открылся) и в состоянии 3 (когда часть газа вышла). Давление с момента открытия клапана уже не менялось, а температура продолжила увеличиваться до комнатной. Попробуйте записать уравнения самостоятельно и решить задачу до конца. Ответ должен получиться таким же, как и при решении первым способом – 7,4 %.

---

 

Задачи 3, 4 (работа с графиками)

 

 

Задача 3. Сравните объем данной массы идеального газа в состояниях 1 и 2 (см. рис. 2).

 

Рис. 2. Условие задачи 3

Анализ условия. В задаче описан переход идеального газа из одного состояния в другое в координатах . Нам нужно сравнить объем газа в этих состояниях. Координаты объема на графике нет, поэтому вспомним, откуда мы брали информацию об объеме на графике , когда работали с графиками изохорного процесса – это будет физическая часть решения.

Допустим, у нас есть два графика изохорного процесса при разных давлениях. Это прямые, которые, если их продолжить, проходят через начало координат – давление пропорционально температуре,  (см. рис. 3). Для каждого процесса давление постоянно, но оно для каждого процесса свое. Как их сравнить?

Рис. 3. Графики изохоры

Давление определяет коэффициент пропорциональности, а значит, наклон графика. Если выразить давление из уравнения состояния идеального газа, то увидим, как объем влияет на коэффициент пропорциональности:

 – это все константа. И если объем больше (он в знаменателе), то константа меньше и крутизна наклона графика меньше. То есть объем в любом состоянии, которое соответствует точке на первом графике, меньше, чем на втором (см. рис. 3). То есть об объеме можно судить по наклону графика изохоры. И мы это разбирали на уроке об изопроцессах, а здесь прошли этот путь, чтобы не заучивать правило.

Вернемся к нашим двух точкам. Проведем через точку 1 и точку 2 графики изохоры (см. рис. 4).

Рис. 4. Анализ условия задачи 3

Это не значит, что происходит изохорный процесс. Просто мы знаем, что если бы он происходил, то любая точка, лежащая на нижнем графике (в том числе точка 2), соответствовала бы большему объему, чем любая точка на верхнем графике (в том числе точка 1). То есть при переходе из состояния 1 в состояние 2 объем увеличивается. Задача решена.

Задача 4. Постройте графики процесса, происходящего с идеальным газом (см. рис. 5), в координатах  и . Масса газа постоянна. Участок графика 3-4 соответствует изотермическому процессу.

Рис. 5. Условие задачи 4

Анализ условия. В задаче описаны изопроцессы. Мы умеем строить графики изопроцессов в разных системах координат, поэтому приступим.

Физическая часть решения. На графике видим изотерму (участок 3-4 по условию), две изобары (видим, что на участке 2-3 и 4-1 давление не меняется) и изохору (участок 1-2, объем постоянный).

Рассмотрим, что происходит, поэтапно и подробнее. Процесс перехода из состояния 1 в состояние 2 соответствует изохоре, объем не меняется (см. рис. 6). При этом давление увеличивается, а значит, и увеличивается температура (при изохорном процессе давление пропорционально температуре).

Рис. 6. Конечный результат построения графиков заданных процессов в координатах

В координатах  график изохоры представляет собой горизонтальную прямую. Точных значений мы не знаем, но видим, что процесс протекает при минимальном объеме, значит, расположим график ниже (см. рис. 6). Причем у нас температура и давление увеличиваются, значит, процесс идет в направлении от точки 1 к точке 2.

Рассмотрим процесс 2-3, давление постоянно. При этом объем увеличивается, значит, увеличивается и температура. То есть это изобарное нагревание. График изобары в координатах  (см. рис. 6). Процесс начинается из точки 2 и протекает в сторону увеличения температуры и объема.

Процесс 3-4 – это изотермическое расширение, на графике видно, что объем увеличивается. В координатах , если температура постоянна, график расположен перпендикулярно оси . Проведем из точки 3 график так, чтобы он соответствовал расширению, увеличению объема, то есть вертикально вверх.

И наконец, процесс 4-1 – это изобара, давление постоянно. Только теперь объем (а значит, и температура) уменьшается, происходит изобарное сжатие. График изобары в координатах  – прямая, проходящая через начало координат. И чтобы точки 4 и 1 лежали на одной такой прямой, проведем участок 3-4 чуть дальше – мы же не знаем точных значений, но теперь участок 4-1 соответствует изобарному сжатию. Получили график процесса в координатах .

График в координатах  попробуйте построить самостоятельно. В итоге форма графика получится такой (см. рис. 7):

Рис. 7. Построение графиков изотермических процессов в координатах

 

Задача 5

 

 

Задача 5. Во сколько раз отличаются средние квадратичные скорости молекул кислорода и азота в вашей комнате?

 

Анализ условия. В задаче речь идет о тепловом движении молекул в воздухе. Напрямую измерить скорости молекул мы не можем, мы судим о них по температуре. Поэтому будем использовать связь температуры со средней квадратичной скоростью молекул. А температура молекул кислорода и азота одна и та же, поскольку это один и тот же воздух в одной и той же комнате.

Физическая часть решения. Запишем связь температуры со средней кинетической энергией движения молекул:

Температуру мы обсудили, она одинакова в смеси газов. А вот масса одной молекулы кислорода и азота отличается, найдем ее. Мы точно знаем массу одного моля частиц – это молярная масса. Для кислорода это  (пользуемся таблицей Менделеева), для азота – .

И мы знаем, что в одном моле  молекул. Значит, масса одной молекулы равна:

Подставим массу одной молекулы в первое уравнение и запишем его для каждого газа:

Осталось разделить одно уравнение на второе и найти отношение скоростей, это будет математическая часть решения:

После сокращения получим:

Подставим молярные массы (у нас их отношение, так что можно даже не переводить в СИ) и получим ответ:

Средняя квадратичная скорость молекул азота в 1,07 раза больше.

 

Задачи 6, 7 (термодинамика)

 

 

Задача 6. Над газом была совершена работа 55 Дж, при этом его внутренняя энергия увеличилась на 15 Дж. Получил или отдал тепло газ в этом процессе? Какое именно количество теплоты?

 

Анализ условия. В задаче описан процесс, в котором над газом совершается работа, при этом газ участвует в теплообмене и нагревается. Превращения энергии в ходе таких процессов мы описываем с помощью первого закона термодинамики.

Физическая часть решения. Применим первый закон термодинамики в удобной для этой задачи формулировке: изменение внутренней энергии равно количеству теплоты, подведенному к газу, плюс работе над газом внешних сил:

Найдем количество теплоты:

У нас  – это количество теплоты, подведенное к газу, это направление теплопередачи считаем положительным. Значит, если получили отрицательное значение, 40 Дж теплоты перешло от газа, газ отдал тепло. Математическая часть решения задачи оказалась короткой и простой, мы ее отдельно не выделили. Задача решена.

Задача 7. Одноатомному газу () передано количество теплоты 1,2 кДж. При этом газ совершил работу 600 Дж. На сколько изменилась температура газа?

Анализ условия. В задаче описано нагревание газа, при этом газ совершал работу – эти процессы мы описываем с помощью первого закона термодинамики, он связывает полученную газом теплоту, совершенную газом работу и изменение внутренней энергии газа. Речь идет о температуре газа – ее связь с внутренней энергией для одноатомного газа мы знаем.

Физическая часть решения. Применим первый закон термодинамики в удобной для этой задачи формулировке: количество теплоты, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы,

Внутренняя энергия одноатомного газа равна:

Тогда изменение внутренней энергии равно:

Получили простую систему из двух уравнений, решим ее.

Подставим в первое уравнение :

Выразим изменение температуры.

Вычислим, переведя величины в СИ:

Температура увеличилась на 24 К, задача решена.

 

Задачи 8, 9 (термодинамика)

 

 

Задача 8. При изобарном нагревании объем гелия увеличился в 3 раза. Какую работу совершил газ? Какое количество теплоты ему передано? Масса гелия 12 г, начальная температура .

 

Анализ условия. В задаче описано изобарное нагревание газа, оно описывается уравнением:

,

где, по условию , объем увеличился в 3 раза. Описан процесс теплообмена, идет речь о работе газа и количестве теплоты – будем применять первый закон термодинамики. Работу газа при изобарном процессе мы умеем вычислять. А внутреннюю энергию свяжем с температурой газа. У нас гелий, это одноатомный газ, уравнение для него мы знаем.

Физическая часть решения. Запишем закономерности, которые мы обсудили. Уравнение для изобары мы записали:

По первому закону термодинамики, количество теплоты, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы:

Работа газа при изобарном процессе равна сразу с учетом объема:

О давлении у нас ничего не сказано, зато задана масса газа и есть данные о температуре, поэтому воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона и запишем:

А изменение внутренней энергии одноатомного газа равно:

На этом физика закончилась, получили систему уравнений, из которой найдем неизвестные величины.

---

 

Математическая часть решения задачи 8

Решим систему уравнений:

Работу, совершенную газом, можем посчитать сразу, посмотрим только в таблице Менделеева молярную массу гелия, 4 г/моль, и переведем значения величин в СИ:

Выразим из первого уравнения вторую температуру:

Тогда в четвертом уравнении  равно

Подставим  и  во второе уравнение:

Вычислим:

Получили значения 7,5 кДж и 18,7 кДж. Задача решена.

---

Задача 9. КПД тепловой машины составляет 0,25. Во сколько раз необходимо увеличить количество теплоты, принимаемое от нагревателя, при неизменном количестве теплоты, отдаваемом холодильнику, чтобы увеличить КПД в 2 раза?

Анализ условия. В задаче описан тепловая машина, находить КПД мы умеем – по количествам теплоты, которое рабочее тело получает от нагревателя и отдает холодильнику (см. рис. 8).

Рис. 8. Схема работы теплового двигателя

Перейдем к физической части решения. Чтобы не запутаться в конечной формуле, запишем, чему равен КПД по определению. Это отношение полезной работы к затраченной энергии. Затраченная энергия здесь – это теплота, переданная нагревателем. А полезная работа, по закону сохранения энергии, равна . Тогда:

У нас по условию КПД увеличился в 2 раза при неизменном . Запишем для двух состояний:

Получили простую систему уравнений, из которой найдем отношение .

---

 

Математическая часть решения задачи 9

Решим систему уравнений:

Выразим из первого уравнения :

Аналогично из второго уравнения:

Приравняем  из двух уравнений:

Разделим обе части уравнения на :

Подставим КПД и получим ответ:

Получили ответ: нужно увеличить  в 1,5 раза.

---

 

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
2. Касьянов В.А. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при  выдерживают давление 1568 Н/см²?
2. Какая из двух линий графика соответствует большему давлению данной массы идеального газа?