Математика

 

 

Тема: Аксиомы стереометрии и их следствия

 

Урок: Некоторые следствия из аксиом

 

Напоминание аксиом стереометрии

 

 

Аксиома 1 (А1)

 

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

 

Решение задачи

 

 

 

Рис. 1.

Дано: ABCD – плоский четырехугольник,  (Рис. 1.)

Требуется:

Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

Решение:

Итак, дана плоскость четырехугольника АВСD, т.е. АВСD – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

И точка М, и точка В принадлежат и плоскости МАВ, и плоскости МВС.

Значит, МВ искомая линия пересечения, . Посмотрим на Рис. 1. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения.

Ответ: прямая МВ.

 

Теорема 1 и ее доказательство

 

 

 

Рис. 2.

Дано:

Прямая , .

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Плоскость  единственна

Доказательство первого пункта:

Докажем, что существует плоскость . На прямой  Выберем любые две точки Р и Q:  . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость , которая содержит и прямую , и точку М, существует.

Доказательство второго пункта:

Следует доказать единственность такой плоскости.

Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую . Например, это будет плоскость, проходящая через точки ,  прямой , и точку . Но тогда эта плоскость  проходит и через прямую , и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость  совпадает с плоскостью . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

 

Теорема 2 и ее доказательство

 

 

 

Рис. 3.

Дано:

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Такая плоскость  единственна.

Доказательство:

На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть  .

Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую  и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая  и прямая b принадлежат плоскости  Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Докажем единственность этой плоскости.

Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую , и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую , и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость   совпадает с плоскостью .

Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

 

Решение задачи 1

 

 

 

Рис. 4.

Дано:  – куб

Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка ?

Решение:

Способ 1

Через прямую АВ и точку  можно провести плоскость, и притом только одну, в силу теоремы 1.

Способ 2

  – прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через прямую  и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, то есть плоскость .

Способ 3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и .

В силу теоремы 2, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость .

Способ 4

В силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, , не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость .

Ответ: отрезок АВ и точка  принадлежат плоскости .

 

Решение задачи 2

 

 

Найдите прямую пересечения плоскостей  и .

 

Решение:

И точка  и точка   входят и в плоскость    и в плоскость . То есть, обе точки  и  одновременно лежат в двух плоскостях и  является линией их пересечения:

Ответ:

 

Решение задачи 3

 

 

Какие плоскости пересекаются в точке А?

 

Мы знаем, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой. А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку.

Нужно узнать, какие плоскости содержат точку А

Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСD(но для названия  плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой). Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.

Вторая плоскость , или . Третья плоскость . Все 3 плоскости содержат точку А. Пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.

Ответ:

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Математика (Источник).

2. Obmir.ru (Источник).

3. Якласс (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какой плоскости принадлежат отрезок CD и точка  (Рис. 4.)?

2. Найдите прямую пересечения плоскостей  и  (Рис. 4.).

3. Какие плоскости пересекаются в точке B (Рис. 4.)?

4. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек?

5. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.