Математика

Определение. Рациональные уравнения – уравнения, в которых могут быть целые и дробные выражения, но нет корней.

Линейное уравнение.

Это уравнение, в котором переменная находится не более чем в первой степени.

Пример:

$2x-3=4x+11$

Квадратное уравнение.

Это уравнение вида $a{x}^2+\mathrm{bx}+c=0,a\ne 0$

В отличие от линейного, в квадратном уравнении переменная встречается во второй степени.

Решение через дискриминант (D)

$a{x}^2+\mathrm{bx}+c=0$

$D=b^2-4\mathrm{ac}$

1. $D>0:$

   $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

2. $D=0:$

   $x_1=\frac{-b}{2a}$

3. $D<0:$

   $x\in \varnothing$ - корней нет

Теорема Виета для $x^2+\mathrm{px}+q=0(a=1)$

Теорема Виета позволяет устно решать многие квадратные уравнения, а так же полезна для некоторых неочевидных задач.

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-p\\ x_1\cdot x_2=q\end{array}\right.$

Разложение на множители

$a{x}^2+\mathrm{bx}+c=0$

если два корня: $x_1,x_2$: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$

если 1 корень:$x_1:{\left(x-x_1\right)}^2=0$

Теорема о целых корнях уравнения n - й степени

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0=0$

Если корень x ∈ Z, то x - делитель a₀.

Пример: $x^3-4x^2+x+8=0$

Возможные корни: $\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8$.