Математика

Числовая окружность

 

Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат,  и началом отсчета в точке , как показано на рисунке 1.

 

Рис. 1. Числовая окружность

Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на этой окружности ( рис. 1).

Как получается эта точка ?

Откладываем дугу , равную по модулю , против часовой стрелки (если ) и по часовой стрелке (если ). Итак, точка  получена.

Каждая точка  имеет единственную пару декартовых координат: абсциссу  и ординату (рис. 1). Имеем действительное число , по нему находим единственную точку на окружности , а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат .

Таким образом, каждому действительному числу  сопоставляется два числа  и . Имеем функции  и .

Далее этим функциям будут даны специальные названия  и . Закон, по которому каждому  сопоставляется пара чисел  и предъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.

 

Прямая задача

 

 

По заданному  найти значение функции  и .

 

 

Обратная задача

 

 

По заданному значению зависимой переменной  или  найти все соответствующие значения аргумента . То есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.

 

 

Решение вида t+2πn;

 

 

Числам соответствует одна и та же единственная точка  на окружности, то есть .

 

Почему же точкам  и  соответствует одна и та же точка  на окружности?

Потому, что  – длина единичной окружности. Ведь длина окружности , так как . Сделав полный оборот, из точки  мы снова попадаем в точку . Число далее будет называться наименьшим положительным периодом функции  и .

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка  соответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа , то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.

Задача 1.

Дано действительное .

Найти: место расположения точки  и ее декартовы координаты  и .

Рис. 2. Первый способ нахождения точки

Решение

Точку  можно найти несколькими способами.

 

Первый способ нахождения точки M

 

 

Дугу  равную  разделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это . Значит, точка  имеет координату , так как .

 

 

Второй способ нахождения точки M

 

 

Можно использовать формулу длины окружности: . Стало быть, отложим угол  и получим точку .

 

Итак, расположение точки  найдено двумя способами.

Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки

Найдем декартовы координаты  и . Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника . В нем известна гипотенуза , известен острый угол  (рис. 3). Значит, ; .

Ответ:;.

Замечание: точка  находится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки , несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.

 

Задача-следствие

 

 

Задача 2.

 

Дана точка  ;.

Найти: координаты точек , симметричных относительно осей координат и точке .

Решение:

Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.

Для точки (рис. 4): ; ;.

Для точки (рис. 4): ; ; .

Для точки (рис. 4): ;; .

 

Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра

Замечание

Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка . Координата точки ;;;

 

Обратная задача

 

 

Дано значение абсциссы .

 

Найти множество значений аргумента.

Множество значений всех . А именно, решить уравнение . Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу  мы получали точку  и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.

Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки (рис. 5) в координаты  восстанавливаем перпендикуляр к оси  и получим две точки  и  на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой . Теперь нужно определить длину дуги (рис. 5). Рассмотрим треугольник . Гипотенуза – 1, катет – .

Рис. 5. Построение точки  и определение ее декартовых координат

Значит, . Отсюда . И соответствующая дуга . , значит, первая криволинейная координата точки : , а точки : .Все координаты точки , а все координаты точки (рис. 5).

Ответ:

 

Задача на нахождение декартовых координат

 

 

Дано:

 

Найти: декартовы координаты точки

Решение:

Рис. 6.Точка  на окружности

Числам  и  соответствует одна и та же точка  на окружности. Точка  – середина дуги  (рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из , в нем гипотенуза – 1. Известно, что .

Ответ:

 

Вывод

Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. В какой координатной четверти находится угол 196°?
2. Определите  координаты точки числовой окружности .
3. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам  и ?
4. Что можно сказать о расположении точек на числовой окружности, соответствующих числам  и ?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
4. Интернет-портал 5klass.net (Источник).