Математика
Тема 8: Числовые и тригонометрические функции. Профильный уровеньУрок 7: Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости»
- Видео
- Тренажер
- Теория
Числовая окружность
Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат, и началом отсчета в точке
, как показано на рисунке 1.
Рис. 1. Числовая окружность
Каждому действительному числу соответствует единственная точка
на этой окружности ( рис. 1).
Как получается эта точка ?
Откладываем дугу , равную по модулю
, против часовой стрелки (если
) и по часовой стрелке (если
). Итак, точка
получена.
Каждая точка имеет единственную пару декартовых координат: абсциссу
и ординату
(рис. 1). Имеем действительное число
, по нему находим единственную точку на окружности
, а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат
.
Таким образом, каждому действительному числу сопоставляется два числа
и
. Имеем функции
и
.
Далее этим функциям будут даны специальные названия и
. Закон, по которому каждому
сопоставляется пара чисел
и
предъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.
Прямая задача
По заданному найти значение функции
и
.
Обратная задача
По заданному значению зависимой переменной или
найти все соответствующие значения аргумента
. То есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.
Решение вида t+2πn;
Числам соответствует одна и та же единственная точка
на окружности, то есть
.
Почему же точкам и
соответствует одна и та же точка
на окружности?
Потому, что – длина единичной окружности. Ведь длина окружности
, так как
. Сделав полный оборот, из точки
мы снова попадаем в точку
. Число
далее будет называться наименьшим положительным периодом функции
и
.
Рассмотрим еще один пример. Пусть точка соответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа
, то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.
Задача 1.
Дано действительное .
Найти: место расположения точки и ее декартовы координаты
и
.
Рис. 2. Первый способ нахождения точки
Решение
Точку можно найти несколькими способами.
Первый способ нахождения точки M
Дугу равную
разделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это
. Значит, точка
имеет координату
, так как
.
Второй способ нахождения точки M
Можно использовать формулу длины окружности: . Стало быть, отложим угол
и получим точку
.
Итак, расположение точки найдено двумя способами.
Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки
Найдем декартовы координаты и
. Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника
. В нем известна гипотенуза
, известен острый угол
(рис. 3). Значит,
;
.
Ответ:;
.
Замечание: точка находится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки
, несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.
Задача-следствие
Задача 2.
Дана точка
;
.
Найти: координаты точек , симметричных относительно осей координат и точке
.
Решение:
Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.
Для точки (рис. 4):
;
;
.
Для точки (рис. 4):
;
;
.
Для точки (рис. 4):
;
;
.
Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра
Замечание
Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка . Координата точки
;
;
;
Обратная задача
Дано значение абсциссы .
Найти множество значений аргумента.
Множество значений всех . А именно, решить уравнение
. Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу
мы получали точку
и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.
Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки (рис. 5) в координаты
восстанавливаем перпендикуляр к оси
и получим две точки
и
на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой
. Теперь нужно определить длину дуги
(рис. 5). Рассмотрим треугольник
. Гипотенуза – 1, катет –
.
Рис. 5. Построение точки и определение ее декартовых координат
Значит, . Отсюда
. И соответствующая дуга
.
, значит, первая криволинейная координата точки
:
, а точки
:
.Все координаты точки
, а все координаты точки
(рис. 5).
Ответ:
Задача на нахождение декартовых координат
Дано:
Найти: декартовы координаты точки
Решение:
Рис. 6.Точка на окружности
Числам и
соответствует одна и та же точка
на окружности. Точка
– середина дуги
(рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из
, в нем гипотенуза – 1. Известно, что
.
Ответ:
Вывод
Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
- Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
- Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
- Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- В какой координатной четверти находится угол 196°?
- Определите координаты точки числовой окружности
.
- Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам
и
?
- Что можно сказать о расположении точек на числовой окружности, соответствующих числам
и
?
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
- Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
- Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
- Интернет-портал 5klass.net (Источник).