Математика

 

 

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

 

Урок: Параллельность прямой и плоскости

 

Аксиома А2

 

 

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

 

Отсюда следуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

 

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

 

 

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 1).

 

Рис. 1

2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются (рис. 2).

Рис. 2

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

Рис. 3

 

Определение параллельности прямой и плоскости

 

 

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: (рис. 4)

Рис. 4 Плоскость параллельная прямой

 

Примеры из жизни параллельности прямой и плоскости

 

 

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода. В идеале, они параллельны плоскости земли (рис. 5).

 

Рис. 5

Другой пример дает линия пересечения стены и потолка (рис. 6). Эта линия параллельна плоскости пола. А пол - это плоскость параллельная прямой. Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, прямая пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке указанные прямые обозначены как а и b.

Рис. 6

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Рис. 7

 

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) и ее доказательство

 

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

 

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 7). Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Рис. 8

Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α (рис. 8). Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости. Теорема доказана.

Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

 

Утверждение 1 и его доказательство

 

 

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 

           

Рис. 9

Доказательство:

Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 9). Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости  и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

 

Утверждение 2 и его доказательство

 

 

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

 

Рис. 10

Рис. 11

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 10), либо лежит в ней (рис. 11), что и требовалось доказать.

 

Список литературы по теме "Плоскость параллельная прямой"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание по теме "Параллельность прямой и плоскости", "Плоскость параллельная прямой"

1. Дайте определение параллельности прямой и плоскости.
2. Дана прямая и две точки вне прямой. Можно ли провести плоскость, которая проходит через эти точки и параллельна данной прямой?
3. Вершины A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Параллельна ли прямая АС плоскости, которая проходит через середины отрезков AB, BC, CD?
4. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
5. Задания 3, 6, 8 стр. 26

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ (Источник).
2. Математика (Источник).
3. Якласс (Источник).
4. ФМ Класс (Источник).