Математика

 

 

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

 

Урок: Параллельные плоскости

 

1. Тема урока

 

 

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

 

 

2. Определения параллельных плоскостей

 

 

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

Рис. 1.

 

3. Аксиома А3

 

 

Существуют ли параллельные плоскости?

 

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

 

4. Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство

 

 

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

 

Доказательство

Проведем в плоскости  две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости  пересекающиеся прямые а₁ и b₁, причем прямая а₁ параллельна прямой а, а прямая b₁ параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости  и параллельны.

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а₁ принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а₁. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости.  Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости  и  не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Рис. 4.

Плоскость  проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость  проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

 

5. Задача 1

 

 

Плоскости  и  параллельны, прямая m лежит в плоскости .

 

Докажите, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство

Предположим, что прямая mпересекается с плоскостью  в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости , и плоскости  (так как точка М лежит на прямой m, а прямаяmпринадлежит плоскости). Но это невозможно, так как плоскости  и  по условию параллельны. Значит, прямая mпараллельна плоскости .

Рис. 5.

 

6. Задача 2

 

 

Докажите, что плоскости  и  параллельны, если прямые m и nплоскости  параллельны плоскости .

 

Доказательство

Предположим, что плоскости  и  пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость  проходит через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость  проходит через прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости  и  не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Рис. 6.

 

7. Задача 3

 

 

Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости .

 

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскость. Стороны АВ и АС параллельны плоскости  (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость и притом только одна. Плоскость  параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости  (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости  (из задачи 1).

Рис. 7.

 

8. Итоги урока

 

 

Итак, мы рассмотрели определение и признак параллельных плоскостей. На следующем уроке мы рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Шпаргалки (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5 стр. 29