Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

 

Тема и цели урока

 

 

Тема данного урока – «Повторение теории и решение задач по теме “Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей”». На этом занятии мы повторим теорию, вспомнив определение параллельных прямых и лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости. Далее повторим определение параллельности прямой и плоскости и ее признак. Затем решим несколько задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

 

 

Повторение теории, двугранный угол

 

 

Двугранный угол

 

Двухгранный угол - это фигура, образованная прямой l и двумя полуплоскостями с общей границей l.

Рис. 1

Обозначение. Двугранный угол (рис. 1) часто записывают так: ∠АMNВ.

MN - общая граница. Точка А лежит в одной полуплоскости α и точка В лежит в другой полуплоскости β. 

Линейный угол двугранного угла

Линейный угол двугранного угла АMNВ строится следующим образом: выбирается точка О на общей границе l. Проводится перпендикуляр ОА к прямой l в плоскости α. Проводится перпендикуляр ОВ к l в плоскости β. Полученный угол АОВ является линейным углом двугранного угла, где АО ⊥  l, ВО ⊥ l.

Измерение двугранного угла

Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Свойство 1.

Плоскость линейного угла и прямая l перпендикулярны. l ⊥ АОВ

Доказательство

Так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО, то прямая l перпендикулярна плоскости АОВ.

 

Задача 1

 

 

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

 

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,  

АС ⊥ АВ,  АС ⊂ α,

BD ⊥ АВ,  BD ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а.

Найти: СD.

Рис. 2

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит,  АКВD– параллелограмм. Значит,  АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем  с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DК перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая  DК  перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Ответ: 2а.

 

Повторение теории, перпендикулярность плоскостей

 

 

Определение.Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

 

Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.

Рис. 3

 

Признак перпендикулярности плоскостей

 

 

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

 

 

Следствие из признака

 

 

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β (рис. 4).

 

Рис. 4

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано. 

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

 

Свойство

 

 

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла. 

 

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рис. 5

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

 

Задача 2

 

 

Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5   DВ = .

 

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Рис. 6

Решение:

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.

.

Тогда

Ответ: .

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

 

На следующем уроке мы перейдем к изучению многогранников.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник).
2. Портал естественных наук (Источник).
3. Якласс (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямоугольник ABCD перегнули по диагонали АС так, что плоскости АВС и ACD оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками B и D, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.
2. Параллельные прямые а и с лежат в плоскости α. Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная плоскости α. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?
3. Сторона ВС прямоугольника ABCD служит стороной треугольника BCK, причем точка К проектируется на прямую CD. Укажите линейный угол двугранного угла ВС.
4. Найдите множество точек, принадлежащих одной грани двугранного угла и удаленных от плоскости другой грани на расстояние а.