Математика

 

 

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

 

Урок: Решение задач и уравнений (продолжение)

 

1. Введение. Определение и пример однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических  уравнений второй и первой степени, решаются задачи и уравнения с применением данной методики.

 

Определение: уравнение вида

называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени относительно функций синус и косинус.

Пример:      ,

 

2. Методика решения однородных тригонометрических уравнений второй степени

 

 

· Разделить обе части уравнения на старшую степень одной из функций, например, , рассмотрев оба случая, т.е. когда  и когда

 

· Решить полученное квадратное уравнение относительно тригонометрической функции.

 

3. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

Решить уравнение:

 

Решение:

1-й случай.

, т.к.

2-й случай.

Ответ:

 

4. Решение уравнения, приводимого к однородному тригонометрическому уравнению

 

 

Решить уравнение:

 

Решение: данное уравнение равносильно

Применяя методику решения для полученного однородного уравнения, имеем:

Первая система не имеет решений, вторая дает совокупность двух уравнений

Ответ:

 

5. Определение и пример однородного тригонометрического уравнения первой степени

 

 

Определение: уравнение вида

 

называется однородным тригонометрическим уравнением первой          степени относительно функций синус и косинус.

Пример:    

 

6. Решение примера

 

 

Решение примера однородного тригонометрического уравнения первой степени выполняется по аналогичной методике.

 

1)    

Решение системы     проиллюстрировано на рисунке 1.

Рис. 1.

2)    

Ответ:

 

7. Однородное тригонометрическое уравнение второй степени в общем виде при a≠0

 

 

 

 

8. Решение частных случаев однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

1) Решить уравнение:

 

Решение:

Ответ:

2) Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

3) Решить уравнение:

Решение:

1-й способ.

Объединяя решения (см. рис. 2), получим:

Рис. 2.

Ответ:

2-й способ.

Используя формулы понижения степени, получаем:

Ответ:

 

9. Итог урока

 

 

На уроке рассматривались решения однородных уравнений.

 

На следующем уроке продолжается решение задач и уравнений.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник).  

 

Сделай дома

№№ 23.14(а, б), 23.15(a), 23.17(a) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)