Математика

Производная суммы

 

Дано: ; .

 

Существует ; .

Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:

Доказательство

Пусть задана функция , требуется найти .

По стандартному алгоритму требуется найти отношение :

При  получаем:

Что и требовалось доказать.

Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Аналогично производная разности функций равна разности производных:

Пример

1. .

2. Найти значение производной функции  в точке :

;  

 

Производная произведения

 

 

Дано: ; .

 

Существует ; .

Доказать, что существует производная от произведения  и вычисляется она по правилу:

Доказательство

Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение , вторая, соответственно, . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Рис. 1. Разностное соотношение

Площадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.

Составим разностное соотношение. Пусть , ищем :

При :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как  стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим важное следствие. Пусть , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.

 

Производная степенной функции

 

 

Производная степенной функции:

 

Рассмотрим частные случаи:

;

Найдем эту производную по правилу произведения:

С другой стороны:

И так далее.

Поэтому угадывается формула:

 – мы принимаем ее без доказательства.

 

Производная частного

 

 

Дано: ; .

 

Существуют ; .

При этом , а значит, существует дробь .

Доказать, что существует производная частного  и вычисляется по формуле:

Доказательство

Представим .

Тогда по формуле производной произведения:

С другой стороны:

Из этих двух выражений получаем уравнение:

Умножим все уравнение на :

Что и требовалось доказать.

 

Решение примеров

 

 

Пример

 

 

Пример

Найти , если .

Решение

 

Вывод

 

 

Итак, мы рассмотрели правила дифференцирования и решили типовые примеры.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Cleverstudents.ru (Источник).            
2. Solverbook.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти производную: ; ;
2. Найти производную: ;
3. Найти производную в точке :