Математика

Введение

 

 Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

 

1. Исследование без производной.

2. Исследование с помощью производной.

 

Исследование функции без производной

 

 

При исследовании функции без производной прежде всего необходимо выделить интервалы знакопостоянства, а для этого найти корни функции. Конкретно для функции  нужно решить уравнение пятой степени. Множество корней данного уравнения найти затруднительно, однако один корень здесь угадывается – это :

 

 

Область определения функции  – это множество всех действительных чисел.

 

Если  стремится к плюс бесконечности, то  тоже стремится к плюс бесконечности.

 

Если  стремится к минус бесконечности, то  тоже стремится к минус бесконечности.

 

Точка пересечения с осью  – это .

 

На рисунке 1 изображен эскиз части графика функции . Полностью исследовать график функции и построить ее график нам поможет производная.

Рис. 1. Эскиз части графика функции

 

Исследование функции с помощью производной

 

 

1. Вычислим производную функции

 

2. Определим критические точки производной

Для этого приравняем производную к нулю:

 

 – критические точки.

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

3. Определим интервалы знакопостоянства и знаки производной на них

Отложим на числовой прямой найденные значения критических точек, таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака производной (см. Рис. 2).

На интервале  производная больше нуля, значит, сама функция возрастает; на интервале  производная меньше нуля, значит, функция убывает; на интервале  производная меньше нуля, значит, функция убывает (при переходе через ноль функция не меняет знак); на интервале  производная больше нуля, значит, сама функция возрастает.

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства и знаки производной на них

4. Исследуем точки экстремума функции

До точки  функция возрастала, после этой точки функция убывает, следовательно,  – это точка максимума.

До точки  функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно,  – это точка минимума.

Точка  – это критическая точка, однако она не является точкой экстремума, так как производная при переходе аргумента через ноль не меняет свой знак.

Найдём значения функции в точках минимума и максимума:

 

 

Полученные результаты сведем в таблицу:

1 строка: интервалы знакопостоянства производной и критическая точка;

2 строка: значения производной на каждом интервале;

3 строка: возрастание и убывание функции на интервалах знакопостоянства производной, значение функции в критических точках;

4 строка: точки максимума и минимума.

На рисунке 3 показан график функции .

Рис. 3. График функции

 

Результаты исследования функции y=3x⁵-5x³+2

 

 

1. Функция возрастает при ,

 

2. Функция убывает при .

3.  – точка максимума.

 

4.  – точка минимума.

 

Замечание

Точка  – это центр симметрии, так как функция  нечетная, а у нечетных функций график симметричен относительно начала координат (для функции  ось  переносится на 2 единицывверх).

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт bitclass.ru (Источник)

2. Интернет-сайт matematikalegko.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задание 44.67(б), 46.1 (б) (стр. 263-266) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: