Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Типовые задачи на производную с иррациональными функциями

 

1. Техника дифференцирования

 

 

Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.

 

Повторим ее на следующем примере.

 Дана функция . Найти .

Напомним, что .

.  - постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а . Отсюда, .

Следующее действие – найти производную в конкретной точке.

. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке , а потом подставляем нужное значение.

 

2. Исследование функции и построение графика (задача 1)

 

 

Построить график функции .  

 

Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.

1. Интервалы знакопостоянства функции.

:  .

Найдем корни (нули) функции:  или .

Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью  (см. рис.1).

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции .

2. Построить график  в окрестности каждого корня.

Функция в точке  равна нулю. Справа и слева от точки  функция положительна, значит, в точке  функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке  функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):

Рис. 2. Схематический график функции  в окрестности каждого корня.

Точек разрыва нет, и когда , то . Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):

Рис. 3. Схематический график функции при .

Построили эскиз графика функции.

3. Проведем исследование функции  с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

    отсюда .

Оба значения  принадлежат области определения.

Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.

Итак,  - точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Найдем значение функции в этой точке:

.  Точка  - точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». Вычислим .

Таким образом, можем построить график функции  (см. рис. 5).

Рис. 5. График функции .

 

3. Решение задачи с параметром

 

 

Дано уравнение . Найти положительное значение параметра , при котором уравнение  имеет ровно два различных решения.

 

Решение.

Воспользуемся графиком функции  (см. рис.5). При  уравнение имеет два различных корня, но  по условию  поэтому .

Ответ: При .

Итак, мы рассмотрели  функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удаленных точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.

 

4. Исследование функции и построение графика (задача 2)

 

 

Построить график функции .

 

Решение.

Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.

:  .

Найдем нули функции.

   или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).

Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.

Итак, знаем, что на промежутке  график функции будет находиться над осью , а на промежутке  - под осью .

Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).

Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.

Если , то . График идет следующим образом (см. рис.8):

Рис. 8. Эскиз графика функции .

Мы предполагаем, что на промежутке  должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.

Проведем исследование функции с помощью производной.

Приравняем производную к нулю, получим:

, отсюда  - единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.

Осталось вычислить значение функции в точке .

Итак, координаты точки экстремума таковы:  

Рис. 10. График функции .

Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.

Например, найти все значения параметра , при которых уравнение  не имеет решений.

Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр  не входит в множество значений функции (см. рис. 10).

Рис. 10. Множество значений функции.

Ответ: уравнение  не имеет решений при всех .

 

5. Итог урока

 

 

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность. Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 45.9, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)