Математика

 

 

Тема: Векторы в пространстве

 

Урок: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Задачи

 

Основные определения по теме векторы

 

 

Определение:

 

Вектором называется направленный отрезок. У вектора  точка А – начало вектора, точка В – конец.

Для вектора важна не только длина, но и направление.

Определение:

Коллинеарными называют векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными и противонаправленными.

Определение:

Равными называют коллинеарные сонаправленные векторы, длины которых равны.

Любой вектор можно единственным образом отложить от произвольной точки.

Для сложения векторов применяются правила треугольника, параллелограмма, многоугольника и параллелепипеда.

При умножении вектора на положительное число его длина умножается на это число, а направление остается неизменным. При умножении вектора на отрицательное число его длина умножается на это число, а направление меняется на противоположное.

Новым для векторов в пространстве относительно векторов на плоскости является понятие компланарности.

Определение:

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

 

Разложение вектора на плоскости и в пространстве

 

 

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам (рис. 1, 2):

 

Рис. 1. Векторы на плоскости

Рис. 2. Разложение вектора через два неколлинеарных

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

Вопрос на понимание компланарности векторов. Если вектор  можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то векторы  и  компланарны.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем однозначно разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы  и . Тогда любой вектор  можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

 

Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

 

 

Задача 1: дан куб  с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор  по векторам  и найти его длину.

 

Решение: построим заданный куб (рис. 3).

Рис. 3. Куб, задача 1

Векторами  и  задается плоскость квадрата . Третий вектор  не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора ,  и  некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор  по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор  мы по условию обозначили как вектор . Вектор  согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

вектор  составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра  по условию: . Вектор  согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро  перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов  равен m как ребро куба. Катет  найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет  равен m как ребро куба. Катет  равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:

Вернемся к первому треугольнику:

 

Задача на усвоение понятия компланарности

 

 

Задача 2: векторы ,  и  компланарны. Компланарны ли векторы ,  и ? Компланарны ли векторы ?

 

Решение: тот факт, что векторы ,  и  компланарны, означает, что, будучи отложенными от одной точки, они расположены в одной плоскости (рисунок 4.а). Это значит, что один из векторов, например, вектор , можно однозначно разложить по двум другим: . Очевидно, что векторы ,  и  тоже компланарны, т. к. умножение вектора на положительное число не меняет его направления, а меняет только длину, и векторы останутся в той же плоскости (рисунок 4.б).

Рис. 4. а

Рис. 4. б

Очевидно, что тройка векторов  также компланарна, потому что всякая линейная комбинация компланарных векторов есть вектор, им компланарный. Мы имеем три вектора, компланарных заданным векторам, очевидно, что они компланарны между собой.

Итак, мы вспомнили все основные определения и теоремы касательно векторов в пространстве, подробно остановились на понятии компланарности векторов и рассмотрели типовые задачи на эту тему.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1.  – параллелепипед. М – точка пересечения  и . . Разложите вектор  по трем заданным векторам.
2. в тетраэдре DABC O – точка пересечения медиан треугольника АВС, точка F принадлежит ребру AD, причем . Разложите вектор  по векторам .
3. используя векторы, докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Webmath.exponenta.ru (Источник).
2. СтудопедиЯ (Источник).
3. Научная библиотека (Источник).