Математика

 

 

Тема: Векторы в пространстве

 

Урок: Решение задач с применением векторов (продолжение)

 

Решение задачи о тетраэдре векторным способом

 

 

В тетраэдре ABCD M и N – точки пересечения медиан граней ADB и BDC. Доказать, что . Найти отношение

 

Решение:

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решим задачу векторным методом. Для начала вводим тройку некомпланарных векторов, пусть . Мы знаем, что теперь любые векторы в пространстве можно выразить через три выбранных вектора, при чем единственным образом. Выразим вектор

Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

Выразим векторы  и .

Аналогичным образом

Имеем:

Теперь выразим вектор :

Очевидна связь между векторами:  или

Очевиден ответ на поставленный вопрос: прямые MN и АС параллельны, т. к. векторы  и  коллинеарны; отношение  составляет .

 

Решение той же задачи геометрическим методом

 

 

Теперь решим эту же задачу геометрическим способом, опираясь на свойства точки пересечения медиан треугольника.

 

Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники подобны. В них:

Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

Кроме того, треугольники имеют общий угол .

Из подобия треугольников вытекает параллельность соответствующих сторон:

Кроме того:

Рассмотрим треугольник , в нем  – средняя линия, т. к. точки  и  основания медиан граней ADB и BDC. Согласно свойству средней линии:

Имеем:

Ответ получен такой же, как и при решении векторным методом.

Итак, была рассмотрена и решена задача о тетраэдре. Решена двумя методами – с помощью векторов, что позволило повторить известную нам теорию о векторах, и геометрически – основываясь на свойствах основных элементов треугольника.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
2. высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите векторы  по векторам
3. в тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Cleverstudents.ru (Источник).
2. Интернет-портал Ppt4web.ru (Источник).
3. Математическая интернет-энциклопедия (Источник).