Математика

Тела вращения

 

Посмотрите на эти красивые вазы и кувшины (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Вазы и кувшины

Несмотря на свой древний возраст, они имеют очень правильную форму. Вылепить такой «идеальный» сосуд руками не получится. Для этого использовали специальное приспособление – гончарный круг.

Предмет, который получается с помощью гончарного круга, можно назвать телом вращения. Действительно, любая такая ваза симметрична относительно своей вертикальной оси (см. рис. 2).

Рис. 2. Ваза симметрична относительно своей вертикальной оси

Для описания тел такой формы рассмотренная нами геометрическая модель – многогранник – не очень подходит. Кирпич хорошо описывается прямоугольным параллелепипедом, хотя при детальном рассмотрении кирпич, все-таки, от этого идеального объекта отличается. Но для решения большинства задач эти приближения не являются для нас критическими.

Но использовать многогранник для приближения объекта такой формы (см. рис. 3) – уже вряд ли удастся.

Рис. 3. Использовать многогранник для приближения объекта такой формы вряд ли удастся

Кружки, банки различной формы, кухонная воронка, спортивные мячи и многое другое – все это примеры таких объектов. Космические объекты – планеты, звезды, галактики тоже плохо описываются многогранниками. Следовательно, нам нужны новые геометрические идеальные объекты, которые с одной стороны были бы похожи на упомянутые реальные объекты, с другой – имели бы простые математические свойства, позволяли бы легко вычислять различные характеристики. Т. е., как и в случае с другими геометрическими фигурами, нам нужны модели, которые хорошо бы приближали рассматриваемые объекты, и при этом были бы изучаемыми.

Такими простыми геометрическими телами являются тела вращения, с которыми мы, конечно, давно знакомы: цилиндр, конус, шар. Мы все знаем, как они выглядят (см. рис. 4).

Рис. 4. Цилиндр, конус, шар

Более того, легко увидеть аналогию между телами вращения и некоторыми многогранниками. Так, цилиндр и правильная призма очень похожи (см. рис. 5).

Рис. 5. Цилиндр и правильная призма

Более того, если у правильной призмы увеличивать количество граней, то она все больше будет похожа на цилиндр. Иначе говоря, цилиндр – это предельный случай правильной призмы.

Точно такую же аналогию мы наблюдаем между конусом и правильной пирамидой (см. рис. 6).

Рис. 6. Конус и правильная пирамида

Если увеличивать количество граней правильной пирамиды, то она все больше похожа на конус. Конус – это предельный случай правильной пирамиды. По этой причине многие свойства у этих пар объектов будут очень похожи.

С шаром настолько хорошую аналогию будет провести сложнее по той причине, что правильных многогранников всего пять, и мы не можем увеличивать количество их граней до бесконечности. Но для приближения шара можно использовать неправильные многогранники – как это делают при изготовлении, например, футбольных мячей. Но об этом чуть позже.

---

 

Почему именно цилиндр, конус и шар?

Может возникнуть вопрос – почему мы будем рассматривать именно цилиндр, конус и шар. Почему именно эти тела вращения оказались такими изучаемыми.

Дело в том, что тела вращения получаются вращением вокруг оси симметрии какой-либо плоской фигуры: цилиндр – прямоугольника, конус – равнобедренного треугольника, шар – круга.

Понятно, что изучаемыми и полезными окажутся те тела, которые получились в результате вращения изучаемых и полезных плоских фигур, которые, к тому же, должны иметь ось симметрии (если вращать произвольный параллелограмм, то получится тело, которое вряд ли будет представлять для нас интерес).

Из треугольников ось симметрии имеет только равнобедренный (получится конус), из четырехугольников – прямоугольник (получится цилиндр), ромб (получится два одинаковых конуса, склеенных основанием), равнобедренная трапеция (получится усеченный конус). Круг (как предельный правильный многоугольник) дает нам при вращении шар (см. рис. 1).

Рис. 1. Тела вращения

---

 

Прямой круговой цилиндр

 

 

Рассмотрим цилиндр. Пусть две окружности лежат в параллельных плоскостях одна строго над другой. Соединим все точки верхней и нижней окружности отрезками, перпендикулярными плоскостям. Полученное тело называют прямым круговым цилиндром (о том, почему именно прямым круговым, поговорим чуть позже) (см. рис. 7), окружности – основаниями цилиндра, отрезки – образующими цилиндра, а поверхность, из них составленная - боковой поверхностью цилиндра.

 

Рис. 7. Прямой круговой цилиндр

Прямая, проходящая через центры окружностей, называется осью цилиндра. Очевидно, что все образующие и ось цилиндра параллельны.

Перпендикуляр к плоскостям оснований (в частности, любая образующая такого цилиндра), называется его высотой (часто под этим термином понимают длину такого перпендикуляра, то есть расстояние между плоскостями оснований).

Радиус оснований называется также радиусом цилиндра (см. рис. 8).

Рис. 8. Элементы цилиндра

Если взять прямоугольник и начать его вращать вокруг одной стороны, то получится цилиндр. Одна сторона будет равна высоте цилиндра, другая – радиусу цилиндра.

Поэтому цилиндр и называется фигурой вращения.

Рассмотрим два самых простых сечения, которые можно сделать у цилиндра. Если плоскость сечения проходит через ось цилиндра, то полученное сечение в виде прямоугольника так и называется – осевое (см. рис. 9). Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра, ширина – диаметру цилиндра.

Рис. 9. Осевое сечение цилиндра

Если плоскость сечения параллельна основаниям, то сечение представляет собой круг, равный основаниям.

На самом деле цилиндрами называют и более сложные фигуры. Так в основании цилиндра может лежать произвольная фигура (см. рис. 10).

Кроме того, образующие могут быть наклонены к плоскости основания (см. рис. 11).

Рис. 10. Основание цилиндра – произвольная фигура

Рис. 11. Образующие цилиндра наклонены к плоскости основания.

При этом, конечно, во всех этих случаях и верхнее и нижнее основания все равно должны быть равны друг другу и лежать в параллельных плоскостях. Их нельзя поворачивать относительно друг друга. Все образующие должны быть параллельны друг другу и оси цилиндра. Именно поэтому рассмотренный нами цилиндр называют прямым круговым цилиндром или же цилиндром вращения, ведь легко убедиться, что вращением можно получить только именно такой цилиндр.

Пока мы остановимся именно на таких самых простых прямых круговых цилиндрах. Но формулы площадей поверхностей и объема будут повторяться и для всех остальных, как это было с прямыми и наклонными призмами.

Вернемся к прямому круговому цилиндру. Разрежем его по одной образующей и развернем его боковую поверхность. Т. е. получим боковую развертку. Она является прямоугольником с высотой равной высоте цилиндра , а длиной равной длине окружности основания, т. е.  (см. рис. 12). Теперь несложно понять, как сделать цилиндр – достаточно вырезать из любого материала (например, бумаги) прямоугольник, и свернуть его таким образом. Правда, понадобятся еще «крышка» и «дно» в виде двух одинаковых окружностей.

Рис. 12. Боковая развертка прямого кругового цилиндра – прямоугольник

Тогда мы получаем формулу площади этой развертки, т. е. площади боковой поверхности цилиндра:

где  – радиус цилиндра, а  – его высота. Иными словами цилиндр – это свернутый прямоугольник, и площадь его боковой поверхности равна площади этого прямоугольника.

Если нам нужна площадь полной поверхности цилиндра, то к площади боковой поверхности нужно добавить площади двух оснований:

Вопрос об объеме цилиндра решается просто. Нам известна формула объема призмы, в том числе и прямой призмы:

Впишем в цилиндр правильную четырехугольную призму. Ее объем вычисляется по данной формуле. Начнем увеличивать количество граней правильной призмы. Площадь ее основания будет приближаться к площади основания цилиндра, а ее объем – к объему цилиндра (высота у них все время будет одной и той же). Получаем, что объем цилиндра можно вычислить по этой же формуле:

 

Прямой круговой конус

 

 

Рассмотрим теперь прямой круговой конус (почему именно прямой круговой вы теперь сами догадаетесь, проведя аналогию с цилиндром). Для этого выберем окружность в качестве основания. Через ее центр проведем ось конуса, перпендикулярно плоскости основания. На оси отметим вершину конуса Р и соединим ее отрезками со всем точками окружности. Получим конус(см. рис. 13).

 

Рис. 13. Прямой круговой конус

Отрезки, соединяющие вершину и точки окружности в основании, называются образующими, как и в случае цилиндра. Расстояние от вершины до центра основания называется высотой конуса, радиус основания называется радиусом конуса (см. рис. 14).

Легко доказать, что все образующие равны друг другу и образуют равные углы как с плоскостью основания, так и с осью конуса. Докажите этот факт самостоятельно.

Рис. 14. Элементы конуса

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг катета. Тогда боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы. Высота такого конуса равна одному из катетов, а радиус – второму.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующим конуса, а основание – диаметру основания конуса.

Рис. 15. Осевое сечение конуса

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается круг (см. рис. 16).

Рис. 16. В сечении – круг

Радиус этого сечения легко получить из подобия прямоугольных треугольников, образованных образующей и осью конуса, вернее двух конусов, исходного, и малого, который получился при проведении сечения. Радиусы малого и большого кругов относятся как высоты большого и малого конусов:

---

 

Конические сечения

Остановимся на сечениях, которые образуются при пересечении конуса более подробно.

Если у конуса убрать основание и продлить образующие до бесконечности, то получим коническую поверхность (см. рис. 1).

Рис. 1. Коническая поверхность

Рассмотрим вопрос от том, что будет получаться в сечении такой поверхности различными плоскостями. Самый простой и самый неинтересный случай, если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности (см. рис. 2). В сечении мы получим или одну точку, или одну образующую, или две образующих.

Рис. 2. Секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности

Посмотрим, что происходит, если секущая плоскость  не проходит через вершину (см. рис. 3).

Рис. 3. Секущая плоскость  не проходит через вершину

Все будет зависеть от того, под каким углом проходит эта плоскость. Пусть  – угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности. Если угол прямой, то мы знаем, что в сечении получается окружность (см. рис. 4). Если угол немного уменьшить, то в сечении мы получим эллипс (см. рис. 5).

Рис. 4. В сечении – окружность

Рис. 5. В сечении – эллипс

Если продолжать уменьшать угол, то в какой-то момент он сравняется с углом между осью конуса и его образующей. Тогда плоскость сечения станет параллельной одной образующей и сечение превратится в параболу (см. рис. 6). Продолжая уменьшать угол, мы превратим сечение в одну из ветвей гиперболы (см. рис. 7).

Рис. 6. В сечении – парабола

Рис. 7. В сечении – ветвь гиперболы

Итак, если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то в сечении – парабола, если угол больше, то эллипс, если меньше, то гипербола. Ну и окружность – это частный случай эллипса. Часто эти кривые – эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями.

---

Выведем формулу площади боковой поверхности конуса. Разрежем боковую поверхность конуса по одной образующей и развернем. Получим круговой сектор (см. рис. 17). И снова теперь мы знаем, как сделать конус из какого-то материала.

Рис. 17. Круговой сектор

Вспомним, как вычисляется площадь сектора. Пусть есть сектор радиуса  и длиной дуги . Длина всей окружности:

Площадь сектора относится к площади целого круга, как длина дуги к длине всей окружности:

Выразим площадь сектора:

В случае развертки конуса радиус сектора – это образующая конуса, а длина дуги сектора – это длина всей окружности основания конуса:

где  – радиус конуса, а  – длина его образующей.

Если нам нужна площадь полной поверхности, то к площади боковой поверхности нужно прибавить площадь основания:

Формулу для объема конуса выведем по аналогии с формулой для объема цилиндра. Впишем в конус правильную пирамиду. Будем увеличивать количество ее граней. Объем каждой пирамиды вычисляется по формуле:

Так как площадь основания пирамиды приближается к площади основания конуса, а объем пирамиды к объему конуса (высота снова постоянна), то объем конуса вычисляется по такой же формуле:

Если рассечь конус плоскостью, параллельной основанию, то сверху мы получим тоже конус, а нижняя полученная фигура называется усеченными конусом (см. рис. 18).

Его можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию. Поэтому усеченный конус тоже является телом вращения.

Рис. 18. Усеченный конус

Площадь боковой поверхности усеченного конуса – это разность площадей боковых поверхностей исходного большого конуса и верхнего малого конуса (см. рис. 19):

Рис. 19. Обозначения

Т. к.  – это образующая усеченного конуса :

Чтобы работать с усеченным конусом, лучше вывести формулу, в которой встречаются элементы только самого усеченного конуса. Значит, нам надо избавиться от .

Выразим ее через радиусы и образующие усеченного конуса. Из подобия большого и верхнего малого прямоугольных треугольников  и  получаем:

Отсюда:

Тогда площадь боковой поверхности:

Формула площади обычного конуса является частным случаем данной формулу, если радиус верхнего основания равен нулю.

Найдем объем усеченного конуса как разность объемов исходного и верхнего конусов.

Выразим  через элементы усеченного конуса:

Отсюда:

Подставим в формулу объема:

Мы уже получили формулу только через элементы усеченного конуса. Но попробуем уменьшить количество этих элементов, выразив все радиусы через площади:

Как и в случае площади боковой поверхности, формула объема обычного конуса получается из данной, если .

 

Шар и сфера

 

 

Переходим к рассмотрению третьего тела вращения – шару. Шар во многом является трехмерным аналогом круга (см. рис. 20).

 

Рис. 20. Шар и круг

Они имеют идентичные определения с учетом размерности пространства: множество точек, расстояние от которых до данной точки (центра), не превышает фиксированной величины (радиуса). Кроме этого, границы круга и шара имеют отдельные названия. Граница круга называются окружностью, а граница шара называется сферой. Можно считать наоборот – не окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точно так же, не сфера – граница шара, а шар – часть пространства, ограниченная сферой.

Можно дать четыре независимых определения для всех четырех объектов:

• окружность – множество точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние;
• круг – множество точек плоскости, удаленных от данной точки не более чем, на данное расстояние;
• сфера – множество точек пространства, удаленных от данной точки на данное расстояние;
• шар – множество точек пространства, удаленных от данной точки не более чем, на данное расстояние.

Шар является фигурой вращения. Его можно получить вращением полукруга вокруг своего диаметра. Расстояние от любой точки сферы до центра называется радиусом сферы и шара. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром. Понятно, что, как и в случае круга, диаметр равен двум радиусам.

У шара нет разделения на поверхности боковую и полную. Сфера – это и есть полная поверхность шара. Сферу невозможно развернуть подобно цилиндру или конусу. Поэтому мы не сможем рассчитать ее площадь, как площадь развертки. Площадь сферы выражается формулой:

Т. е. площадь сферы равна четырем площадям большого круга – сечения плоскостью, проходящей через центр. Или, по-другому, у шатра в виде полусферы стены имеют площадь в два раза больше, чем пол. Объем шара выражается формулой:

---

 

Футбольный мяч

Мы знаем, что приблизить шар правильными многогранниками по аналогии с конусом и цилиндром не получится – их всего 5, поэтому мы не сможем до бесконечности увеличивать количество их граней. Однако все же можно попытаться найти достаточно хорошее шара многогранником – его даже использовали (и используют) при производстве футбольных мячей.

Рассмотрим многогранник, который состоит только из правильных пятиугольников и шестиугольников (см. рис. 1).

Рис. 1. Рассматриваемый многогранник

Пусть пятиугольников – , шестиугольников – . Тогда общее количество граней:

Каждое ребро будет являться стороной одновременно двух многоугольников, поэтому количество ребер:

Несложно по аналогии найти количество вершин:

Теперь можем воспользоваться формулой Эйлера для многогранников:

Получаем:

Или:

Откуда:

Получается, что у такого многогранника должно быть 12 пятиугольных граней и сколько угодно шестиугольных. Обычный футбольный мяч состоит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников и довольно хорошо приближает сферу.

---

 

Объем шара и площадь сферы

 

 

Площадь сферы можно получить, имея формулу объема шара. Начнем с вывода этой формулы. Применим принцип Кавальери. Для этого нам надо рядом поставить два тела, одно исследуемое, другое эталонное, объем которого мы уже умеем вычислять. Поставим рядом полушар радиуса  и цилиндр радиусом и высотой тоже , т. е. высоты у обоих тел одинаковые. Вырежем в цилиндре перевернутый конус, основание которого совпадает с верхним основанием цилиндра. Пересечем фигуры плоскостью .

 

Рис. 21. Принцип Кавальери

Найдем площадь сечения половины шара. Пусть расстояние между плоскостями . Тогда радиус сечения мы найдем по теореме Пифагора:

Тогда площадь сечения:

У правого тела сечение представляет собой кольцо. Внешний радиус равен  (см. рис. 22).

Рис. 22. Обозначения

Т. к. радиус перевернутого конуса равен его высоте, то этот конус получен вращением равнобедренного прямоугольного треугольника. Тогда внутренний радиус кольца равен его высоте . Площадь полученного кольца:

Т. е. площади сечений оказались равны. Теперь понятно, для чего мы рядом с шаром поставили такую хитрую фигуру.

Давайте посмотрим на ситуацию еще раз. Два тела стоят на плоскости . Первое – половина шара радиуса . Второе – цилиндр радиуса  и высоты , в котором вырезана полость в виде перевернутого конуса. Радиус основания и высота конуса тоже равны . Если провести плоскость  параллельно плоскости  на расстоянии , то мы получим два сечения – круг и кольцо, площади которых одинаковы и равны:

Но тогда, по принципу Кавальери, эти тела имеют равные объемы.

Объем сконструированного нами тела равен разности объемов цилиндра и конуса:

Мы нашли объем половины шара. Осталось его умножить на два и получить объем шара:

Теперь, используя формулу объема, выведем формулу площади сферы. Основная идея будет следующая: если есть тонкая пленка, натянутая на шар, то объем такой пленки равен произведению ее площади на толщину. В силу очень малой толщины внешняя и внутренняя площади практически равны

Если так окажется, что мы знаем объем и толщину пленки, то можем найти ее площадь:

Рассмотрим теперь шар радиуса . Покрасим его слоем краски толщиной . Радиус окрашенного шара равен . Объем слоя краски можно вычислить как разность объемов окрашенного и неокрашенного шаров:

Найдем площадь слоя краски:

Если мы говорим о площади поверхности шара радиуса , то это соответствует нашей задаче с краской, толщина слоя которой . Тогда наша формула приобретает вид:

Откуда площадь сферы равна:

Вывести данную формулу гораздо проще с помощью понятия интеграла, но этот математический инструмент мы изучим в 11 классе и тогда еще раз вернемся к площади поверхности сферы.

 

Шаровой сегмент, сектор и слой

 

 

По аналогии с круговым сектором, сегментом и слоем для шара рассматривают шаровой сектор, сегмент и слой. Их определения практически идентичны.

 

Круговой сегмент – это часть круга, отсекаемая от него какой-нибудь прямой (см. рис. 23).

Рис. 23 Круговой сегмент

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (см. рис. 24).

Рис. 24. Шаровой сегмент

Плоскость делит шар на два сегмента. Круг в сечении называется основанием сегментов. Отрезки  и  – высотами сегментов (см. рис. 25).

Рис. 25. Отрезки  и  – высоты сегментов

Если радиус шара равен , а высота сегмента равна , то объем сегмента вычисляется по формуле:

Показать это можно, используя те же рассуждения, что при выводе формулы объема шара, используя принцип Кавальери. Но намного проще провести доказательство с использованием интегрального исчисления (к строгому выводу этих формул мы, опять же, еще вернемся в 11 классе).

Шаровым слоем называется часть шара между двумя параллельными плоскостями (см. рис. 26). Объем слоя вычисляют как разность объемов двух шаровых сегментов.

Рис. 26. Шаровой слой

Шаровым сектором называют часть шара, ограниченного конусом, с вершиной в центре шара (см. рис. 27).

Рис. 27. Шаровой сектор

Шаровой сектор можно получить вращением кругового сектора с острым углом, вокруг одного из своих радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен , а высота шарового сегмента , то объем шарового сектора вычисляется по формуле:

Действительно, объем шарового сектора равен сумме объемов шарового сегмента и конуса:

Избавимся от радиуса сегмента:

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Ин­тер­нет-пор­тал «youclever.org»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «shkolkovo.net»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной  м и диаметром  см, если на швы необходимо добавить  площади ее боковой поверхности?
2. Найти площадь сферы, радиус которой равен .
3. Высота шарового слоя равна , а радиусы оснований равны соответственно  и . Найти площадь поверхности шарового слоя.