Математика
Тема 13: Метод координат в пространстве. Профильный уровеньУрок 3: Простейшие задачи в координатах
- Видео
- Тренажер
- Теория
Введение
Мы уже ввели понятие системы координат в пространстве, а также задали основные связанные с ней термины. Рассмотрим простейшие, базовые задачи в координатах, на которых в дальнейшем будет строиться решение большинства задач.
Задача. Нахождение координат середины отрезка
Дано: ;
,
– середина
. Найти:
.
Решение: Обозначим в пространстве точки и
– середину отрезка
. (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Ввели систему координат
Вектор является половиной суммы векторов
и
, потому что
– это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах
и
. (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Использование правила параллелограмма
Так как и
, и
(по правилу параллелограмма),
то значит:
Осталось заметить, что координаты точки совпадают с координатами вектора
, так как
– начало координат. То есть
.
Таким образом, координаты середины отрезка есть полусуммы соответствующих координат его концов.
Можно было действовать и иначе: . Координаты вектора
мы знаем, значит, можем найти координаты вектора
, а отсюда, зная координаты начала этого вектора
находим координаты конца –
.
Ответ: .
Задача (координаты точки на отрезке)
Пусть даны две точки: ;
, точка
делит отрезок
в отношении
от вершины
. Найти:
. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Если , то мы получаем тот самый случай, который мы уже разобрали, то есть деление в отношении
или середину отрезка.
Как мы будем находить координаты точки ? Заметим, что векторы
и
сонаправлены. Значит, они отличаются в константу раз, причем эту константу мы знаем. Ведь на весь отрезок
приходится
частей, а на отрезок
–
частей.
Значит, вектор .
Так как , то
.
Но тогда координаты точки находятся как сумма соответствующих координат вектора
и точки
. Найдем абсциссу, остальное – аналогично.
.
Значит, имеет координаты:
Разберем пример: ,
. Найти координаты точки
, если
. (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Решение: по нашим формулам: С.
Ответ: .
Задача. Длина вектора
Пусть дан вектор . Тогда:
.
Доказательство
Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями ,
и
. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Иллюстрация к доказательству
Тогда вектор , так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)
Рис. 6.
Значит, , где
– диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству):
, что и требовалось доказать.
Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания ) и затем для треугольника
. (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Как найти диагональ параллелепипеда
Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ;
, то
. Тогда получим, что
.
Задачи на использования выведенных формул
Задача 1. Найти длину медианы треугольника
, где
,
,
.
Решение. Найдем координаты точки – середины отрезка
. По формуле нахождения координат середины отрезка
получаем, что
.
По формуле нахождения длины вектора получаем, что
.
Ответ: .
Задача 2. Определите вид треугольника и найдите его периметр, если
,
,
.
Решение. По формуле , найдем длины
,
и
:
Значит, треугольник равнобедренный, т. к. .
.
Тогда периметр .
Ответ: треугольник равнобедренный; .
Заключение
На этом уроке были разобраны три классические задачи координатного метода в стереометрии: мы научились находить координаты середины отрезка по координатам его концов: , длину вектора и, как следствие, длину любого отрезка:
.
Список литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
- А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
- Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Найти координаты точки
если известны координаты точки
, середины отрезка
и точки
.
- Вычислить длину вектора
, если даны точки
и
.
- Вычислить длину вектора
, если
;
;
.