Математика

Движение в пространстве

 

Начнем с понятия отображения пространства на себя.

 

Оно идентично отображению плоскости на себя, с которым мы уже знакомы.

Итак, пусть каждой точке пространства  поставлена в соответствие точка . Точку  мы будем называть образом точки , а саму точку  прообразом точки  (рис. 1).

Рис. 1 Образ и прообраз

Если каждой точке пространства соответствует образ, и кроме того, каждая точка имеет прообраз, то говорят, что задано отображение пространства на себя. Исходя из определения понятно, что отображение пространства – это функция.

 

Что будет происходить с геометрическими телами при отображении пространства?

Произвольное отображение скорее всего отправит точки одного тела в совершенно разные места пространства. То есть тело при отображении скорее всего разорвется и будет размазано по большой, может быть даже бесконечной области (рис. 2).

Рис. 2 Произвольное отображение

Но мы хотим рассмотреть такой математический инструмент, который будет описывать процессы, происходящие в реальной жизни, и который окажется полезным для расчетов.

Понятно, что движение предмета в обычном понимании не подразумевает его разрывание на множество частей и разлету их в разные места. Если мы передвинем какой-то объект, то все его точки должны располагаться относительно друг друга точно так же, как и до перемещения (рис. 3).

Рис. 3 Движение в обычном понимании

Это достаточно сложное требование. На самом деле достаточно потребовать, чтобы сохранились расстояния между точками (рис. 4). Для математического движения это и будет основным его свойством.

Рис. 4 Сохранение расстояния между точками объекта

Дадим определение движения. Отображение пространства на себя называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Т.е. расстояние между любыми двумя точками должно быть равно расстоянию между их образами (рис. 5).

Рис. 5 Определение движения

Если проводить аналогию с числовыми функциями, то таким свойством обладают только очень простые из известных нам функций. Например,  сохраняет расстояние. То есть, если мы возьмем два любых числа  и , то функция увеличит каждое из этих чисел на , но расстояние между образами останется тем же (рис. 6).

Рис. 6 Функция, сохраняющая расстояние

Функция  уже изменяет расстояния, увеличивает их в три раза (рис. 7).

Рис. 7 Функция, изменяющая расстояние

Покажем, что движение, определенное таким образом, в самом деле сохраняет форму объекта, т.е. описывает движение в привычном нам бытовом смысле.

Теорема. Движение сохраняет форму объекта.

 

Покажем, что при движении отрезок переходит в отрезок.

Рис. 8 Образ отрезка

Посмотрим на образ отрезка  (рис.8). Его концы перейдут в точки  причем, расстояние между ними будет тоже самое.

Рис. 9 Образ произвольной точки  отрезка

Рассмотрим произвольную точку  отрезка . Ее образ  (рис. 9).

Т.е. .

Но это возможно только если  лежит на отрезке . В самом деле, если предположить, что  не лежит на , то по неравенству треугольника  (рис.10)

Рис. 10 Неравенство треугольника

Теперь легко показать, что прямая переходит в прямую.

Рис. 11 Образ прямой

Отметим на прямой  точки  и . Они перейдут в точки  и . Проведем через них прямую . Покажем, что  и есть образ прямой  (рис. 11).

Рис. 12  принадлежит отрезку

Для этого отметим на прямой  точку  (рис.12). Если она лежит между  и , то есть на отрезке , то  лежит на отрезке , а значит и на прямой .

 

Рис. 13  лежит между  и

Если  лежит между  и , то  лежит на отрезке  (рис.13). В любом случае  лежит на прямой .

 

Все эти рассуждения мы уже проводили в планиметрии. Новым будет утверждение, что плоскость переходит в плоскость.

Рис. 14 Образ плоскости

Отметим на плоскости  три точки ,  и , не лежащие на одной прямой. Пусть их образы . Проведем через эти три точки плоскость . Покажем, что она и будет образом плоскости  (рис.14).

Рис. 15 Образ произвольной точки плоскости

Возьмем произвольную точку  на плоскости . Проведем через нее прямую так, чтобы она пересекала две стороны треугольника  в точках  и  (рис. 15). Так как отрезки переходят в отрезки, то образы этих двух точек  и  будут лежать на образах соответствующих сторон треугольника, т.е. в плоскости . Точка  (образ ) лежит на прямой , а, следовательно, и в плоскости . Таким образом, все точки плоскости  переходят при движении на плоскость .

Рис. 16 Многогранник

Так как выпуклый многогранник однозначно задается своими гранями и ребрами (то есть отрезками и плоскостями) (рис. 16), то многогранник при движении переходит в многогранник (рис. 17).

Рис. 17 Образ многогранника

Так как трехмерное тело можно сколь угодно приблизить набором таких многогранников, то мы делаем общий вывод: при движении любое трехмерное тело или плоская фигура переходят в им равные.

Рис. 18 Приближение трехмерного тела многогранником

Таким образом, математическое движение в самом деле описывает привычное нам движение в быту.

 

Параллельный перенос

 

 

Теперь рассмотрим виды движений. Всего их будет пять – три мы знаем из планиметрии (параллельный перенос, центральная и осевая симметрия), ещё один мы определим с учётом появления третьего измерения (поворот не вокруг точки, а вокруг оси), а ещё один будет специфическим, то есть не имеющим аналога на плоскости (третий вид симметрии – зеркальная симметрия).

 

 

Начнём с параллельного переноса, который нам знаком уже по планиметрии.

Каждую точку пространства передвинем на вектор  (рис. 19).

Рис. 19 Параллельный перенос на вектор

То есть, рассмотрим такое отображение, что для любой точки  и ее образа : .

Сначала попробуйте самостоятельно доказать, что такое отображение является движением, т.е. сохраняет расстояния между точками.

 

Доказательство:

Итак, возьмем две точки  и . Построим их образы  и  (рис. 20).

Рис. 20 Иллюстрация к доказательству

Так как векторы  и   равны, то две противоположные стороны четырехугольника  равны и параллельны, а значит, он является параллелограммом. Следовательно .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, а, следовательно, является движением. (Параллельный перенос – движение, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние).

 

Если рассмотреть модель координат в пространстве, то параллельный перенос на вектор  означает добавление к координатам точки координат вектора переноса.

 

Виды симметрии в пространстве

 

 

В планиметрии мы рассматривали два вида симметрии – центральную (относительно точки) и осевую (относительно прямой). Интуитивно мы не очень склонны считать симметрию движением. Но любая симметрия соответствует определяющему свойству движения – сохраняет расстояние между точками. Поэтому как математический инструмент, мы ее, конечно, относим к движению.

 

Понятие центральной симметрии в пространстве практически не отличается от такого же понятие на плоскости. Выберем точку , которая будет являться центром симметрии. Точки  и  называются симметричными относительно точки , если точка  – середина отрезка  (рис. 21).

Рис. 21 Центральная симметрия

Центральной симметрией назовем такое отображение пространства на себя, при  котором любая точка переходит в точку, симметричную ей относительно центра . Точка  называется центром симметрии.

 

Покажем, что центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния.

Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояние.

Доказательство:

Рис. 22 Иллюстрация к доказательству

Пусть точки  и  имеют образы  и  (рис. 22). Тогда  треугольники  и  равны по первому признаку, следовательно  (рис. 23).

Рис. 23 Иллюстрация к доказательству

Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояние, т.е. является движением.

 

Выведем формулы преобразования координат при центральной симметрии.

Пусть центр симметрии имеет координаты: . Рассмотрим точку  и ее образ  (рис. 24).  Так как  – середина отрезка , то ее координаты равны среднему арифметическому координат точек  и :

     

Рис. 24 Центральная симметрия

Выразим координаты образа, т.е. :

Конечно, удобно в качестве центра симметрии брать начало координат. Тогда точка  имеет нулевые координаты и формулы преобразования координат принимают очень простой вид:

То есть, чтобы точку отобразить симметрично началу координат, нужно поменять знак у всех ее координат (рис. 25).

Рис. 25 Центральная симметрия относительно начала координат

 

Осевая симметрия в пространстве определяется так же, как и в планиметрии. Точки  и  называются симметричными относительно прямой , если отрезок  пересекает прямую а под прямым углом и точкой пересечения делится пополам (рис. 26).

Рис. 26 Осевая симметрия относительно прямой

Отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в точку , симметричную ей относительно прямой , называется осевой симметрией. Прямая  называется осью симметрии.

Теорема. Осевая симметрия является движением.

Зададим прямоугольную систему координат, приняв ось симметрии за ось  (ось аппликат).

Рис. 27 Осевая симметрия относительно оси аппликат

Рассмотрим точку  и ее образ  (рис. 27). Так как отрезок  перпендикулярен оси , то он параллелен плоскости . Следовательно точки  и  имеют одинаковые аппликаты (координаты ).

Рис. 28 Проекции на плоскость

Проекции точек  и  на ось  имеют те же самые абсциссы и ординаты, что и сами точки и нулевые аппликаты (рис. 28). Но эти точки симметричны относительно начала координат. Следовательно, их абсциссы и ординаты отличаются только знаками. Таким образом, мы получили формулы преобразования координат:

Если бы координата  тоже меняла свой знак, то мы получили бы не осевую, а центральную симметрию.

Теперь посмотрим, что происходит с расстоянием между точками при осевой симметрии. Пусть точки  имеют образы  (рис. 29).

Рис. 29 Точки  и их образы

Найдем координаты векторов  и :

Воспользуемся формулами преобразования координат ()  для второго вектора:

Таким образом, первые две координаты у этих векторов отличаются знаком, а третьи совпадают. Так как длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то длины этих векторов равны, а значит равны расстояния между прообразами и образами. Итак, осевая симметрия является движением.

 

Новым для нас видом симметрии является симметрия относительно плоскости. Ее еще называют зеркальной симметрией. Название связано с тем, что именно зеркально симметричное отображение мы видим в зеркале.

Рис. 30 Отражение в зеркале

По понятным причинам ее не могло быть в планиметрии.

Две точки называются симметричными относительно некоторой плоскости, если отрезок, их соединяющий, пересекает плоскость под прямым углом и делится точкой пересечения пополам (рис.31).

Рис. 31 Симметрия относительно плоскости

Теорема. Зеркальная симметрия является движением.

Используем снова координатный метод. Пусть плоскостью симметрии будет плоскость . Тогда у образа и прообраза отличаются только аппликаты своим знаком, а абсциссы и ординаты совпадают (рис.32).

Рис. 32   - плоскость симметрии

Рассмотрим расстояния между точкам  и  и их образами при зеркальной симметрии  и . Пусть точки  и  имеют координаты:  и . Тогда их образы:  и .

У векторов  и  тоже отличаются только аппликаты и только знаком:

Понятно, что длины таких векторов равны. Следовательно, зеркальная симметрия является движением, так как сохраняет расстояния.

 

Поворот вокруг оси

 

 

Последним типом движения, который мы рассмотрим, будет поворот вокруг прямой. Он очень напоминает поворот вокруг точки на плоскости.

 

Чтобы повернуть точку  вокруг прямой  на угол  проведем плоскость через точку  перпендикулярно прямой . В этой плоскости уже и осуществим поворот. То есть построим точку  таким образом, чтобы , а угол  был равен углу поворота  (рис. 33).

Рис. 33 Поворот относительно прямой

Рассмотрим поворот двух точек и изучим, что происходит с расстоянием между ними. Проведем через точки  и  плоскости, перпендикулярные оси поворота. Повернем каждую точку на угол  в своей плоскости.  перейдет в , а  в  (рис. 34).

Рис. 34 Поворот двух точек вокруг прямой

Построим проекции точек  и  на верхнюю плоскость. Обозначим их  и . Очевидно,  переходит  при повороте на угол  (рис.35).

Рис. 35 Проекции точек  и

Треугольники  и  равны по первому признаку (рис. 36). Следовательно .

Рис. 36 Равные треугольники  и

Тогда прямоугольные треугольники  и  равны по двум катетам.

Рис. 37 Равные треугольники  и

Следовательно . То есть расстояние между прообразами и образами равны. Таким образом поворот вокруг оси сохраняет расстояние и является движением.

Легко заметить, что поворот на  является осевой симметрией (рис. 38). То есть осевая симметрия – это частный случай поворота.

Рис. 38 Поворот на

Вспомним для сравнения, что в планиметрии центральная симметрия являлась поворотом вокруг точки на .

 

Подобие в пространстве

 

 

Подобие в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Вспомним, что две основные характеристики тела – размер и форма. Подобные тела имеют одинаковую форму, но могут иметь совершенно разные размеры. Например, любые два круга подобны. Очевидно, что любые два шара также подобны (рис. 39).

 

Рис. 39 Подобные шары

Итак, два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Автомобиль и его модель – подобные тела (рис. 40).

Рис. 40 Автомобиль и его модель

Отношение линейных размеров подобных тел называется коэффициентом подобия (рис. 41).

Рис. 41 Коэффициент подобия

В подобных телах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны (рис. 42).

Рис. 42 Равенство углов в подобных фигурах

Объяснение этого факта сводится к подобию треугольников, на которые можно разбить любую грань многогранника и к подобию сечений плоскостями, перпендикулярным ребрам, т.е., содержащим линейные углы двугранных углов.

Мы знаем, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия (рис. 43): .

Рис. 43 Подобные треугольники

Опять разбивая все грани на треугольники, мы приходим к выводу, что все площади поверхностей или сечений подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия (рис. 44).

Рис. 44 Разбиение граней на треугольники

Отношение объемов кубов равно кубу коэффициента подобия (так как объём куба равен , соответственно, увеличение или уменьшение длины ребра в  раз приведёт к изменению объёма куба в  раз): .

Рис. 45 Отношение объемов кубов

Так как любой многогранник можно приблизить кубами разных размеров, то приходим к выводу, что это справедливо и для любых тел.

Рис. 46 Приближение многогранника кубами

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.

 

Все наверное видели фантастические фильмы про увеличенных в силу мутации насекомых или пауков (рис. 47).

Рис. 47 Мутировавшие насекомые

Если все линейные размеры насекомого увеличить в 100 раз, то коэффициент подобия между исходным насекомым и увеличенным будет 100. Если изначально насекомое было 0,5 см в высоту, то теперь оно будет иметь рост полметра

То же самое с длиной, 2-х сантиметровый таракан превратится в гиганта двух метров длиной. Площадь поверхности тела такого насекомого увеличится не в 100 раз, а в 100 в квадрате, то есть в 10 000 раз. А объем, следовательно и масса, - уже в миллион раз. Таким образом, если исходный таракан весил 1 грамм, то увеличенный “всего лишь в 100 раз” будет весить уже 1 тонну.

Кстати, непропорциональное увеличение поверхности тела и массы является одним из утешительных объяснений, почему такие монстры не могут существовать. Насекомое дышит через поверхность тела. Чтобы обеспечивать массу, увеличившуюся в миллион раз, нужно в миллион раз больше воздуха. Но площадь поверхности тела такого гиганта увеличится только в 10 тысяч раз. Так что, если не изменится биологическая структура мутанта, он просто задохнётся.

 

Преобразование подобия. Гомотетия

 

 

Свойства подобия тел удобно описывать с помощью преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом  называют такое отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства  и  переходят в такие точки  и , что  (рис. 48).

 

Рис. 48 Преобразование подобия

Из самого определения понятно, что подобие в общем случае не является движением.

Движением оно будет только тогда, когда .

Используя преобразование подобия легко дать определения подобных тел. Тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, переводящее одно тело в другое.

Рассмотрим частный случай преобразования подобия. Оно называется центральным подобием или гомотетией. Гомотетией с центром  и коэффициентом гомотетии  называется такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка  переходит в точку , такую что:

Рис. 49 Гомотетия с центром

Легко видеть, что гомотетия с тем же центром и обратным коэффициентом , переводит точку  в точку . То есть является обратным преобразованием.

 

Понятно, что не любое преобразование подобия является гомотетией. Но не сложно убедиться, что любое преобразование подобия можно представить как результат последовательного выполнения движения и гомотетии.

Теорема. Любое преобразование подобия представимо в виде движения и гомотетии.

Доказательство:

Рис. 50 Иллюстрация к доказательству

Рассмотрим преобразование подобия с коэффициентом . Тогда две точки  и  перейдут при его выполнении в точки  и  такие, что  (переход от фигуры 1 к фигуре 2) (рис. 50).

Рассмотрим теперь гомотетию с коэффициентом . Применим ее к точками  и  (рис. 51).

Рис. 51 Иллюстрация к доказательству

Получим точки  и  такие что:   (переход от 2 к 3). Это означает, что результатом последовательного применения этих преобразований является движение (переход от 1 к 3) (рис. 52).

Рис. 52 Иллюстрация к доказательству

Применим теперь к точкам  и  гомотетию с тем же центром и обратным коэффициентом, т.е. . Тогда мы вернемся к точка  и  (рис.53).

Рис. 53 Иллюстрация к доказательству

Мы взяли произвольные точки  и , применили к ним движение (состоящее из преобразования подобия с коэффициентом  и гомотетии c коэффициентом ) а потом гомотетию с коэффициентом . И получили опять тоже самое преобразование подобия с коэффициентом . То есть прошли от 1 фигуры к 3, а потом к фигуре 2. Получается, что произвольное преобразование подобия представимо в виде комбинации движения и гомотетии.

 

Список рекомендованной литературы.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Смирнова И. М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
3. Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «webmath.ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «math24.ru»

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Найдите координаты образов точек  при:
   а) центральной симметрии относительно начала координат
   б) осевой симметрии относительно координатных осей
   в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей


2. Какие координаты имеет точка , если при центральной симметрии с центром  точка  переходит в точку .
3. Найдите объем многогранника , если известен объем подобного многогранника ), а коэффициент подобия .
4. При движении прямая  отображается на прямую , плоскость  на . Докажите, что если , то _.