Математика
Тема 15: Объёмы тел и планиметрия. Профильный уровеньУрок 6: Объем пирамиды и конуса
- Видео
- Тренажер
- Теория
Введение
Легко или сложно вычислять объемы? Пока мы умеем находить лишь объемы параллелепипедов, цилиндров и призм, поэтому задача вычисления объемов кажется довольно легкой. Действительно, и формулы доказывались без труда, и вычисления были не слишком громоздкими. Собственно, формула для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда известна еще с начальной школы.
Идея была относительно проста. Мы ввели объем куба, через него нашли объем прямоугольного параллелепипеда, по сути, «разбив» его на кубики, отсюда пришли к призмам, а от них – к цилиндрам. Но в случае пирамиды и конуса «разбить» их на кубики не получится.
Хотя древние греки пробовали. В V веке до н. э. греческим математиком Демокритом было высказано предположение, что объем пирамиды равен трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Доказать это не смог ни он, ни получивший позднее тот же результат Евклид. Впрочем, данная формула подтверждалась практикой – действительно, мы можем измерить объем любой конкретной пирамиды с любой степенью точности. Например, если взять пирамидку и заполнить ее чем-нибудь (водой, песком), а потом вычислить объем того, чем мы заполняли. Впрочем, ученые и по сей день пытаются разбить призму на три равных пирамиды, что доказало бы формулу.
Объем пирамиды и усеченной пирамиды
В наши дни формула давно доказана. И сделано это с помощью интегралов. Помним, что , где
– это площадь сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной некоторой оси, которую мы провели.
С помощью этого метода выведем объем пирамиды. Начнем с объема треугольной пирамиды.
Рассмотрим пирамиду (
– вершина), обозначим ее объем через
; площадь ее основания
; ее высота
(см. Рис. 1).
Рис. 1. Пирамида
Проведем ось , совпадающую с лучом
. Рассмотрим произвольную точку
на этой оси внутри пирамиды. Через эту точку проведем сечение
, перпендикулярное нашей оси. Помним, что
, где
– площадь сечения
(см. Рис. 2). Выразим, чему равно
.
Рис. 2. Проведенные ось и перпендикулярное оси сечение
Заметим, что : из того, что плоскости
и
перпендикулярны оси
, следует, что плоскости параллельны, а значит,
,
и
. Тогда получается, что
,
и
, откуда следует, что
(по третьему признаку подобия) (см. Рис. 3).
Рис. 3. Подобные треугольники
Найдем, чему равен коэффициент подобия .
Рассмотрим и
. Они подобны с тем же коэффициентом
, т. к.
, а значит,
. Из условия
и пусть
, тогда
. Получаем, что
.
Учитывая, что , получаем
;
.
Окончательно,
Итак, мы доказали, что объем треугольной пирамиды .
Осталось вывести формулу для произвольной пирамиды. Это делается просто: разбиваем произвольную пирамиду на треугольные (см. Рис. 4).
Рис. 4. Разбиение произвольной пирамиды на треугольные
Тогда
Итак, окончательно, теорема, которую мы доказали: объем пирамиды равен трети произведения площади ее основания и высоты .
В качестве следствия можно доказать и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды (см. Рис. 10): , где
– высота усеченной пирамиды, а
и
– площади ее оснований.
Рис. 10. Усеченная пирамида
Доказательство (без интеграла)
Докажем, что . Как и в первом доказательстве, мы докажем формулу для треугольной пирамиды, а как она обобщается до произвольной, вы уже знаете.
Пусть – треугольная пирамида,
– вершина,
– основание (см. Рис. 5).
Рис. 5. – треугольная пирамида
Дополним эту пирамиду до призмы с тем же основанием и высотой (см. Рис. 6).
Рис. 6. Призма
Эта призма составлена из трех пирамид: данной ,
и
(см. Рис. 7).
Рис. 7. Призма из трех пирамид
Рассмотрим исходную пирамиду и пирамиду
. Заметим, что у них
(как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали
в параллелограмме
). Высоты, проведенные из точки
на каждую из этих плоскостей, совпадают
(см. Рис. 8).
Рис. 8. Высота, проведенная к плоскости
Раз у пирамид и
равны высоты и основания, то равны и объемы
(следует из равенства объемов равновеликих тел).
Аналогично если рассмотреть пирамиды и
, то
, т. к.
(как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали
в параллелограмме
). Высоты, проведенные из точки
на каждую из этих плоскостей, совпадают
(см. Рис. 9). То есть площади оснований и высоты равны.
Рис. 9. Высота, проведенная к плоскости
Получили, что все три пирамиды имеют один и тот же объем , то есть
, откуда
. Теорема доказана.
Объем усеченной пирамиды
Итак, пусть у усеченной пирамиды основания имеют площади
; высота –
. Достроим эту усеченную пирамиду до обычной пирамиды. Пусть
– вершина пирамиды. Опустим высоту, она пересечет основания в точках
и
соответственно. Пусть
(см. Рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к условию
Заметим, что и коэффициент подобия
(обосновывалось раннее).
Тогда очевидно, что объем усеченной пирамиды равен разности объемов большой пирамиды и малой, то есть:
.
Осталось найти .
Из того, что получаем
(в силу того что это соответствующие отрезки подобных фигур, чьи площади нам известны).
С другой стороны, (было выведено ранее), тогда
.
Значит, ;
;
.
Окончательно,
в силу формулы разности кубов. Что и требовалось доказать.
Пример 1
Закрепим выведенную формулу объема пирамиды примером.
Чему равен объем правильной треугольной пирамиды
, если
,
? (См. Рис. 12.)
Рис. 12. Иллюстрация к задаче
Решение. Как мы знаем, .
Поскольку в основании лежит правильный треугольник (см. Рис. 13), то .
Рис. 13. Правильный треугольник в основании
Найдем высоту из прямоугольного треугольника
. Гипотенуза
, а катет
– радиус описанной окружности, который равен
, то есть
(см. Рис. 14).
Рис. 14. Стороны
Отсюда по теореме Пифагора . А значит, объем равен
.
Ответ: .
Объем конуса и усеченного конуса
Теорема. Объем конуса (см. Рис. 15) равен , где
– радиус основания конуса,
– его высота.
Рис. 15. Конус
Формула для вычисления объема конуса в точности совпадает с аналогичной формулой для пирамиды, так как конус – это, по сути, и есть пирамида, только в основании лежит «бесконечноугольник» – окружность (см. Рис. 16).
Рис. 16. Многоугольник, стремящийся к окружности
Если подставить в формулу объема пирамиды площадь основания конуса, то есть площадь круга, то мы и приходим к формуле .
Доказывается же формула для конуса абсолютно аналогично пирамиде. Рассматривается такая же ось, отмечается точно такое же подобие, а дальше берется тот же самый интеграл (см. Рис. 17).
Рис. 17. Иллюстрация для доказательства формулы
Аналогичным выглядит и следствие про усеченный конус (см. Рис. 18): Доказательство абсолютно аналогично тому, что было приведено для усеченной пирамиды.
Рис. 18. Усеченная пирамида
Заключение
Сегодня были выведены новые формулы: объема пирамиды и объема конуса
, объема усеченных пирамиды и конуса
– и был разобран пример, иллюстрирующий эти формулы. Более подробно разобраться с формулами поможет решение задач с использованием этих формул.
Список литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
- А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
- Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Вычислите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, если стороны ее оснований равны
см и
см, а перпендикуляр, который соединяет основания, равен
см.
- В правильной треугольной пирамиде
медианы основания
пересекаются в точке
. Площадь треугольника
равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка
.
- Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.