Математика

 

 

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

 

Урок: Решение текстовых задач на смеси и проценты

 

1. Основные сведения о процентах

 

 

Процентом называется одна сотая часть от заданного числа.

 

Рассмотрим значения основных процентов. Пусть дано некоторое число а.

1. 100% от числа  – это само число а, т. к. один процент – одна сотая, сто процентов – сто сотых, то есть единица;

2. 0% от числа  – это ноль;

3. 1% от числа  – это ;

4.   от числа  – это ;

5. Увеличить число на заданный процент  – значит к исходному числу  прибавить  от этого числа: ;

6. Уменьшить число на заданный процент  – значит от исходного числа  отнять  от этого числа: ;

 

2.  Решение простейших задач на проценты

 

 

Пример 1: вычислить  от числа .

 

Пример 2: уменьшить число  на .

Данную задачу можно решать несколькими способами.

1.

2. Все число  составляет 100%, нам необходимо уменьшить его на 20%, т. е. взять 80% от числа :

Пример 3: определить, какой процент от числа  составляет число .

Пусть число  составляет  от числа , тогда по определению процента имеем:

Пример 4: в 2009 году в квартале проживало 40000 человек. В 2010 году естественный прирост населения составил , а в 2011 году –  по сравнению с 2010 годом. Сколько человек проживало в квартале в 2011 году?

Определим прирост населения в 2010 году:

Так, в 2010 году в квартале проживало  человек.

Определим прирост населения в 2011 году:

Так, в 2011 году в квартале проживало  человек.

 

3. Решение более сложной задачи на проценты  

 

 

Задачу можно решить иначе. Количество людей, проживающих в квартале на 2009 год, – это 100%. В 2010 году это количество увеличилось на 8%, стало 108%.

 

Так, чтобы определить количество жителей квартала на 2010 год, нужно посчитать 108% от числа : .

Чтобы посчитать количество жителей квартала на 2011 год, нужно посчитать 109% от полученного числа : .

Если пропустить промежуточное действие, получим: .

 

 

4.  Подход к решению текстовых задач, в частности, задач на смеси

 

 

Перейдем к задачам на смеси. Прежде всего, рассмотрим основные идеи решения любых текстовых задач, в том числе и только что решенной задачи (пример 4). Сначала нужно внимательно прочитать условие задачи, подробно остановиться на каждой строчке и попытаться представить ее в виде некоторого уравнения или системы уравнений. Иногда для этого требуется вводить какие-то переменные, а иногда просто последовательно выполнить определенные вычисления.

 

Задачи на смеси отличаются наличием специфической формулы:

, где М – масса вещества, процентное содержание вещества в смеси,m – масса смеси.

Отметим, что в зависимости от условия задачи формула может несколько измениться, например, если речь идет о газах, то вместо массы фигурирует объем:

, где V – объем вещества, процентное содержание вещества в смеси,v – объем смеси.

Кроме того, если речь идет, например, о растворах, то фигурирует масса раствора, а не смеси, если о сплавах – масса сплава, и т. д.

 

5.  Решение задачи на смеси

 

 

Пример 5: в сосуд, содержащий 5 л 12%-го раствора некоторого вещества, долили 7 л воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

 

Так, нам требуется узнать, сколько процентов составит объем вещества от объема нового раствора.

При решении подобных задач удобно вносить данные в таблицу:

Объем исходного раствора нам задан. Объем нового раствора легко определить, так как в исходный долили 7 л воды, получаем . Процентное содержание вещества в исходном растворе задано. Процентное содержание вещества в новом растворе требуется найти, его и обозначим за . Тогда с помощью уравнения смеси можем посчитать объем вещества в исходном и новом растворе. В исходном он составит ; в новом – . Очевидно, что от того, что мы долили в раствор воду, объем вещества в растворе не изменился, и в новом растворе также составляет . Так, получено уравнение:

Ответ: новый раствор будет 5%-й концентрации

 

 

6. Дополнительная задача на проценты

 

 

Дополнительный пример:

 

Семья состоит из мужа, жены и дочери, и совокупный семейный доход состоит из зарплат мужа и жены и стипендии дочери. Известно, что если зарплата мужа возрастет в два раза, совокупный семейный доход увеличится на 67%. Если же стипендия дочери уменьшится в три раза, то совокупный семейный доход уменьшится на 4%. Какой процент от семейного дохода составляет зарплата жены?

Составим табличку:

Вводим три переменных для дохода мужа, жены и дочери соответственно. Теперь, глядя на таблицу, составляем уравнения. Первое уравнение берем из фразы: если зарплата мужа возрастет в два раза, совокупный семейный доход увеличится на 67%:

Второе уравнение берем из фразы: если стипендия дочери уменьшится в три раза, то совокупный семейный доход уменьшится на 4%:

Получена система двух уравнений:

Можно попробовать решить систему «в лоб»: выразить  в первом уравнении, подставить во второе и т. д., но данный путь решения довольно громоздкий. Мы же применим маленькую хитрость:

Так, отметим, что зарплата мужа составляет 67% семейного бюджета.

Этот факт можно было заметить из таблицы: доход семьи увеличился на , и это соответствует увеличению на 67% , т. о.  составляет 67% дохода.

Аналогичным образом преобразуем второе уравнение:

Так, стипендия дочери составляет 6% семейного бюджета.

. Отсюда очевидно, что зарплата жены составляет 27%.

 

7. Дополнительная задача на смеси

 

 

Дополнительный пример:

 

Есть два сплава. Первый содержит 10% никеля (Ni), второй – 30%. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, который содержит 25% никеля. На сколько килограмм масса первого сплава меньше массы второго?

Составим таблицу:

Поскольку нам требуется узнать массы исходных сплавов, обозначим их за х и у. Массу никеля в каждом сплаве определяем по формуле: . Для третьей строки таблицы это значение легко найти: . Для первой и второй строки – это  и  соответственно.

Теперь составим уравнения. Отметим, что третий сплав получили из первого и второго, значит, его масса равна сумме масс первого и второго сплавов: .

Кроме того отметим, что количество никеля в третьем сплаве равно суммарному количеству никеля в первом и втором сплавах: .

Получили систему двух уравнений:

Решим методом алгебраического сложения:

Ответ: масса первого сплава на 50 кг меньше массы второго.

Итак, мы рассмотрели понятие процента, простейшие задачи, связанные с процентами и различные текстовые задачи на проценты. Кроме того, рассмотрели важную формулу смеси и решили различные текстовые задачи на смеси.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Матуха.ру (Источник).
2. Матуха.ру (Источник).
3. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задача 1: количество абитуриентов города в 2011 году составило 2000 человек. В 2012 году количество уменьшилось на 13%, а в 2013 году увеличилось на 25% по сравнению с 2012 годом. Увеличилось ли число абитуриентов в 2013 году по сравнению с 2011 годом и на сколько процентов? Определите суммарное количество абитуриентов за три года.

Задача 2: в пробирке было 250 мл 15%-го раствор соли, в него долили 100 мл воды и досыпали 5 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Задача 3: в двух разделенных стенкой камерах находились смеси кислорода с хлором. В первой камере хлор составлял 3%, во второй камере – 0,25%. После того как стенку между камерами убрали, получилась одна камера объемом  с концентрацией хлора 2%. Определите объемы каждой камеры.