Математика

 

 

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

 

Урок: Решение текстовых задач на движение и работу

 

1. Аспекты решения задач на движение

 

 

Задачи на движение и работу достаточно похожи как по смыслу, так и по структуре решения.

 

Рассмотрим более стандартные задачи – на движение. Основная цель, как и при решении любых текстовых задач, – составить уравнение или систему уравнений по тексту условия задачи и решить его. Здесь нам помогут два аспекта – во-первых, нужно ввести какие-нибудь переменные, исходя из данных задачи, во-вторых, стремиться к базовому уравнению движения:

, где S – путь, V – скорость движения, t – время движения.

При введении переменных следует помнить о том, что все единицы измерения должны быть одинаковыми, то есть если путь введен в метрах, то скорость не может быть в километрах в час, в таком случае уравнение будет составлено неверно. Так, необходимо все единицы измерения сделать одинаковыми, то есть путь в километрах и скорость в километрах в час или путь в метрах и скорость в метрах в секунду и т. д.

Кроме того отметим, что переменные рекомендуется вводить вместо скорости или вместо искомой в задаче величины, переменную вместо времени при наличии выбора вводить не рекомендуется.

 

 

2. Решение задачи на движение 

 

 

Пример 1: из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Причем первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй же проехал первую половину пути со скоростью 24 км/час, а вторую – со скоростью 16 км/час. Найти скорость первого автомобиля (в км/час), если в пункт В оба автомобиля прибыли одновременно.

 

Решение:

1. Поскольку требуется найти скорость первого автомобиля, введем главную переменную ; кроме того, для составления первого уравнения введем две второстепенных переменных:  – весь путь из А в В;  – время, за которое первый автомобиль преодолел весь путь; имеем первое уравнение: ;

2. Второй автомобиль преодолел первую половину пути () со скоростью 24 км/час, пусть за некоторое время : ;

3. Второй автомобиль преодолел вторую половину пути () со скоростью 16 км/час, пусть за некоторое время : ;

4. Поскольку оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, имеем уравнение: ;

5. Выразим ,  и  из трех составленных уравнений и подставим полученные выражения в четвертое уравнение:

6. Решим составленное уравнение:

 

 

 

3. Аспекты решения задач на работу  

 

 

Задачи на работу отличаются от вышерассмотренных задач на движение только лишь заменой понятий: путь S превращается в работу А, скорость V – в производительность труда, время же остается неизменным.

 

При этом мы понимаем, что работа есть, например, изготовление деталей, заполнение бассейна и т. п., а производительность – это часть работы, выполненная за час, т. е., сколько деталей было изготовлено за час или на какую часть был заполнен бассейн все за тот же час и т. д.. Производительность может быть выражена в числах (10 деталей в час, 20 деталей в час и т. д.) или частью от всей работы (треть поля в день, четверть бассейна в час и т. д.). 

Основное уравнение для данного типа задач:

, где А – вся выполненная работа, V – производительность труда, t – время выполнения всего объема работы.

То, что производительность труда, как и скорость движения, обозначена за V – не случайно, ведь, по сути, производительность и есть скорость, с которой человек или некоторый прибор работает.

Также отметим, что если работа не задана условием и производительность задана не численно, а частями, то весь объем работы принято обозначать за единицу. Если же, например, объем бассейна не дан, но производительность заполнения дана в литрах в час, то принимать объем бассейна за единицу не удобно и не нужно, а стоит измерять его в литрах и т. п..

 

4.  Решение задачи на работу

 

 

Пример 2: двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько может выполнить ту же работу первый рабочий самостоятельно, если он за два дня выполняет ту же часть работы, что и второй за три дня?

 

Решение:

1. Поскольку в задаче работа никак численно не охарактеризована, то есть речь не идет об определенном количестве деталей или литров, то удобно весь объем работы принять за единицу: ;

2. В качестве переменных удобно брать производительность труда. Обозначим производительность первого рабочего , причем это будет часть работы, выполняемая первым рабочим за один день (например, треть работы или одна пятая и т. д.);  – соответственно, производительность второго рабочего;

3. Можем составить первое уравнение касательно того, что вместе рабочие выполняют работу за 12 дней. Очевидно, что их общая производительность равна сумме двух производительностей, так, имеем: ;

Здесь отметим, что производительность складывать можно и нужно, тогда как время работы нельзя, то есть, если один выполняет работу за 20 часов, а второй – за 30, то вдвоем они выполнят ее не за 50 часов, а намного быстрее.

4. Составляем второе уравнение: , оно соответствует фразе: за два дня первый выполняет ту же часть работы, что и второй за три дня. Первый выполняет за один день , тогда очевидно, что за два дня выполнит в два раза больше – ; аналогично, второй за три дня выполняет , и эти величины, как сказано, равны.

5. Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

 

 

Решим данную систему методом алгебраического сложения:

Получено одно уравнение с одним неизвестным, решим его:

Так, мы нашли производительность труда первого рабочего, она составляет , то есть , это та часть работы, которую первый рабочий выполняет за день.

Чтобы найти, за сколько дней первый рабочий выполнит самостоятельно всю работу, составляем уравнение:

Так, всю работу первый рабочий самостоятельно выполнит за 20 дней, что и требовалось найти.

 

5.  Дополнительный пример задачи на движение

 

 

Дополнительный пример: теплоход проходит по течению реки 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найти скорость течения реки, если скорость теплохода в стоячей воде – 15 км/час, стоянка длится 10 часов, теплоход возвращается в пункт отправления через 40 часов после отплытия из него. Ответ представить в км/час.

 

Решение:

1. Обозначим искомую скорость течения реки за ;

2. Очевидно, что, когда теплоход движется по течению реки, его скорость равна сумме собственной скорости (скорости теплохода в стоячей воде) и скорости течения реки, имеем: ;

3. Когда же теплоход движется против течения реки, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения реки, имеем: ;

4. Составим уравнение движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения, т. е. по течению реки: ;

5. Составим уравнение движения теплохода из пункта назначения в пункт отправления, т. е. против течения реки: ;

6. Составим уравнение времени плавания теплохода, которое состоит из времени пути туда, времени пути обратно и времени стоянки: ;

7. Выразим из уравнений 7 и 8   и подставим в уравнение 9: ;

Получено одно уравнение с одной неизвестной, решим его:

Данное уравнение легко решить, для этого сначала сократить на 10, после домножить на знаменатели правой части и решить полученное квадратное уравнение, в ответ получим скорость течения реки – 5 км/час. 

 

6. Переформулировка задачи на работу в задачу на движение

 

 

Дополнительный пример: переформулируем задачу на работу, решенную в данном уроке (пример 2), в задачу на движение. Исходное условие: двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько может выполнить ту же работу первый рабочий самостоятельно, если он за два дня выполняет ту же часть работы, что и второй за три дня? Переформулируем: Петя и Вася едут навстречу друг другу из пунктов А и В соответственно и встречаются через 12 часов. Отметим, что в первом случае рабочие работали, а во втором Петя и Вася как бы работают, и их работа состоит в сближении, в движении с некоторой скоростью навстречу друг другу. Далее: Петя проезжает за два часа такое же расстояние, как Вася за три часа. За сколько часов Петя преодолеет все расстояние из пункта А в пункт В, то есть как бы выполнит всю работу по сближению самостоятельно, если Вася двигаться ему навстречу не будет?

 

Решение задачи аналогично решению примера 2, с заменой работы на движение а дней на часы.

 

7. Дополнительный пример задачи на работу

 

 

 

 

Дополнительный пример: первая труба пропускает на 1 литр в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение:

1. В данном случае дана конкретная работа – общий объем резервуара 110 литров, и принимать всю работу за единицу нет необходимости;

2. Нам требуется найти производительность второй трубы, поэтому за переменные обозначим производительности первой и второй трубы, то есть  – производительность первой трубы, количество литров, пропускаемых первой трубой за минуту;  – производительность второй трубы, количество литров, пропускаемых второй трубой за минуту;

3. Составляем уравнения работы: , где  – время необходимое первой трубе для самостоятельного заполнения резервуара; , где  – время необходимое второй трубе для самостоятельного заполнения резервуара;

4. Из фразы «первая труба пропускает на 1 литр в минуту меньше, чем вторая труба» понимаем, что производительность первой трубы на единицу меньше производительности второй, имеем уравнение: ;

5. Из фразы «резервуар объемом 110 литров вторая труба заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба» понимаем, что время работы первой трубы на единицу больше времени работы второй, имеем уравнение: ;

6. Выразим  и  из уравнений в пункте 3 и подставим в уравнение в пункте 5: ;

7. Нас интересует производительность второй трубы, поэтому избавимся от  в уравнении 6 подставим выражение из пункта 4:

Получено одно уравнение с одной переменной, оно легко решается при помощи домножения на знаменатели, и получаем ответ: вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

Итак, мы рассмотрели решение текстовых задач на движение и работу, ввели формулы для движения и работы. Отметили, что задачи данных типов очень похожи между собой и легко переформулируются от одного типа к другому и обратно. Также мы осветили наиболее важные аспекты решения таких задач и решили примеры, как простые, так и более сложные.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Матуха.ру (Источник).
3. Coolreferat.com (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задача 1: из пунктов А и В навстречу друг другу вышли двое туристов, причем скорость первого – на 1 км/час больше скорости второго. Туристы встретились через 3,5 часа. Найдите скорость второго туриста.

Задача 2: двое рабочих получили заказ на 40 деталей. Первый рабочий делает за час на 3 детали больше, чем второй за три часа. Второй рабочий самостоятельно выполнит заказ за 120 часов. В какой срок рабочие выполнят заказ вместе?

Задача 3: лодка движется по течению реки со скоростью 5 км/ч, а против течения – со скоростью 3 км/ч. Найти скорость течения реки, если по течению лодка проплывает 12 км за то же время, что 9 км против течения.