Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 1. Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения

Теория

Конспект урока

 

Свойства степени с натуральным показателем

 

 

Что такое степень? С этим понятием мы уже сталкивались неоднократно в школьном курсе математики.

 

Изначально мы говорили про степень с натуральным показателем и вводили следующее определение: выражение  называется степенью. При этом a – называется основанием степени, а n – показателем степени.

Фактически, эта запись означала удобное сокращение – вместо того, чтобы каждый раз писать произведение большого количества множителей мы стали использовать удобную и краткую запись.

Исходя из определения степени легко получить свойства степени с натуральным показателем:

1)  

2)  

3)    (

4)  

5)  

6)  

 

Свойства степени с целым показателем

 

 

Однако в математике все понятия рано или поздно обобщаются. Понятие степени оказалось удобно использовать не только в случае натурального показателя. Поэтому впоследствии мы ввели понятие степени с целым показателем.

 

Чтобы получить выражение  достаточно в третьем свойстве положить:  и мы получим:

Получить выражение для отрицательного показателя степени также несложно. Для этого достаточно взять в третьем свойстве в качестве  Тогда получим:  ( 

Несложно убедиться, что при таком определении степени с целым показателем все остальные свойства, уже определённые для степени с натуральным показателем сохраняются (собственно, этого мы и добивались). Таким образом, для степени с целым показателем полный список свойств выглядит так:

1)  

2)  

3)    

4)  

5)  

6)   ;

7)    

8)  

Вполне логично, что можно продолжить обобщать понятие степени для рациональных показателей. Рассмотрим выражение: . Но для случая  мы получили определение корня n-ой степени  Тогда:  для

 

Свойства степени с рациональным показателем

 

 

Несложно убедиться, что при таком определении степени с рациональным показателем все остальные свойства, уже определённые для степени с целым показателем сохраняются (собственно, этого мы и добивались). Таким образом, для степени с рациональным показателем полный список свойств выглядит так:

 

1)  

2)  

3)    

4)  

5)  

6)  

7)    

8)   ;

9)    

Оказывается, что все эти свойства верны и для любого вещественного показателя степени.

Повторив свойства степени, перейдём к рассмотрению показательной функции.

 

Показательная функция и её свойства

 

 

Показательная функции – это функция вида

 

Своё название функция получила из-за того, что в ней переменная является показателем степени. Таким образом, с изменением переменной меняется показатель степени, а основание остаётся неизменным. Поэтому функция и называется показательной.

Ограничение на  связано с тем, что при отрицательных  функция была бы определена только при целых значениях 

Если же , то функция во всех точках принимала значение 1 и не представляла бы интерес для изучения.

Исходя из определения можно сформулировать основные свойства показательной функции:

1)    то есть функция определена при всех действительных значениях переменной

2)    то есть функция принимает любые положительные значения

3)   Точки пересечения с осями.

Ох (нули функции):  – не существует (так как функция принимает только строго положительные значения). То есть, у функции нет общих точек с ось Ох.

Оу: , то есть график показательной функции проходит через точку (0;1).

4)   Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как:

Также функция не является периодической.

5)   При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

6)   Графики показательной функции при  и имеют вид:

Показательная функция, независимо от своего основания, обладает одним очень важным свойством: она  Что это означает? Это означает, что каждое значение функция принимает не больше одного раза (то есть, что любая горизонтальная прямая пересечёт график показательной функции не более, чем один раз).

Напомним также, что решениями уравнения  являются абсциссы точек пересечения графика функции  и горизонтальной прямой

Исходя из этого несложно определить количество решений уравнения  по графику показательной функции. При  такое уравнение решений иметь не будет (график функции лежит над осью Ох). А при  уравнение будет иметь одно решение (функция принимает каждое значение из области значений ровно один раз).

 

Показательная функция и её свойства

 

 

Эти простые рассуждения приводят нас к следующему алгоритму решения простейших показательных уравнений:  Таким образом, для решения простейшего показательного уравнения достаточно привести обе части к одинаковому основанию, а затем приравнять показатели степени.

 

Например:

Любое более сложное показательное уравнение решается «выливанием воды из чайника», то есть сведением его различными методами к простейшим.

 

Виды показательных уравнений

 

 

Основные виды показательных уравнений:

 

1)   Простейшие ().

2)   Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени

3)   С вынесением общей степени

4) Сводящиеся к квадратным

5)   Однородные

На этом уроке мы с вами вспомнили определение и свойства степени, показательную функцию и её свойства.

В практической части урока мы подробно разберём основные методы решения показательных уравнений.

 

Вставка 1. Обобщение понятия степень

Может возникнуть вполне логичный вопрос: мы воспользовались уже готовыми свойствами степени с натуральным показателем, чтобы «вывести» формулу для степени с целым показателем. И потом «восхищаемся» тем, что все свойства в результате такого определения сохраняются. Можно ли так делать?

Здесь очень важно понимать, что математики люди весьма прагматичные и даже немного «ленивые». Поэтому они стараются структурировать и обобщать всё, что только можно.

Однако любое обобщение хорошо только тогда, когда оно справедливо не только в общем, но и в любом частном случае.

Поэтому понятие степени с целым показателем должно сохранять свойства степени с натуральным показателем, так как любое натуральное число является одновременно и целым.

Аналогично с рациональным и т.д.

Нас же не удивляет, что известный нам с раннего детства закон «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» остался верен не только для чисел от 1 до 10 (как мы учили его изначально), а и для всех натуральных, целых, рациональных и даже иррациональных чисел.

Поэтому мы всего лишь продемонстрировали, откуда пришла идея так «определить» степень с целым и рациональным показателем, чтобы все свойства, уже сформулированные для степени с натуральным показателем, остались верны.

 

Вставка 2. Неположительные основания степени

Мы ввели понятие степени с натуральным для любого основания. А в дальнейшем начали накладывать на основание определённые ограничения. Возникает вопрос: в каких случаях степень определена при неположительных основаниях?

 определено при всех

Для отрицательных же оснований:  выражение  определено только для целых показателей степени:

Почему не определено число  Ведь его можно заменить на  Это связано с тем, что можно рассуждать и следующим образом:  Таким образом, мы бы получили, что , что было бы абсолютно неверно. Поэтому для отрицательных оснований вводят обычно только степень с целым показателем.

 

Вставка 3. «Вылить воду из чайника» 

Это выражение имеет свою предысторию. Существует следующая «притча-анекдот», иллюстрирующая принцип математического подхода к решению задач.

Обычного человека и математика попросили закипятить воду в чайнике, имея для этого следующее оборудование: пустой чайник, кран с водой, спички и плиту.

Оба сформулировали следующий алгоритм:

1)      Налить в чайник воду из-под крана.

2)      Зажечь спичку.

3)      Зажечь конфорку на плите.

4)      Поставить чайник на плиту.

5)      Подождать пока закипит вода.

После этого им предложили решить аналогичную задачу, но с изменёнными начальными данными: есть чайник с водой, кран с водой, спички и плита. Обычный человек сформулировал вполне естественный алгоритм:

1)      Зажечь спичку.

2)      Зажечь конфорку на плите.

3)      Поставить чайник на плиту.

4)      Подождать пока закипит вода.

А математик решил задачу так:

1)      Выливаем воду из чайника.

2)      Задача свелась к предыдущей.

Эта история демонстрирует один из важнейших принципов в математике: если мы можем свести задачу к одной из уже решённых, то и исходную задачу можно считать решённой. При этом такой подход к решению абсолютно не гарантирует его «оптимальность». Возможно, существуют и другие, более короткие и простые пути к решению, однако в математике иногда гораздо важнее понимать, что задачу можно решить и знать алгоритм, который гарантированно приведёт к желаемому результату.

Таким образом, выражение «вылить воду из чайника» означает свести задачу к предыдущей, то есть к той, которую мы уже умеем решать.

Полезные ссылки:

1) Алгебра 7 класс:"Что такое степень с натуральным показателем"

2) Алгебра 7 класс: "Таблица основных степеней"

3) Алгебра 7 класс: "Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)"

4) Алгебра 7 класс: "Степень с нулевым показателем и основные результаты"

5) Алгебра 7 класс: "Умножение степеней с одинаковыми основаниями"

6) Алгебра 7 класс: "Деление степеней с одинаковыми основаниями"

7) Алгебра 7 класс: "Возведение степени в степень"

8) Алгебра 7 класс: "Действия со степенями"

9) Алгебра 7 класс: "Степень с натуральным показателем и её свойства"

10) Алгебра 8 класс: "Возведение алгебраической дроби в степень"

11) Алгебра 8 класс: "Степень с отрицательным показателем"

12) Алгебра 11 класс: "Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения"

13) Алгебра 11 класс: "Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи"

14) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения"

15) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения"

16) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства и простейшие показательные неравенства"

17) Алгебра 11 класс: "Показательные уравнения"

18) Алгебра 11 класс: "Показательные уравнения. Более сложные случаи"