Математика

Тема 8: Подготовка к экзаменам

Урок 5: Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Теория

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

Теория

Конспект урока

На предыдущем уроке мы уже обсуждали важный факт, касающийся показательной функции, а именно то, что она монотонна на всей области определения. То есть, при основании показательная функция монотонно возрастает (с увеличением переменной увеличиваются и значения функции), а при основании монотонно убывает (с увеличением переменной значения функции уменьшаются).

Этот факт нам наглядно подтвердили и графики показательной функции для обоих вариантов значения основания.

Это свойство очень помогло нам при решении показательных уравнений, так как из него следовало следующее утверждение: .

Вывод метода решения показательных неравенств

Оказывается, пользуясь этим свойством можно вывести и правило для решения показательных неравенств.

Рассмотрим два случая.

1) . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство будет выполнено для всех (мы говорили, что значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

2) . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство будет выполнено для всех (мы говорили, что значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

Общая схема решения показательных неравенств

Таким образом, можно сформулировать общую схему решения показательных неравенств:

1) Свести к простейшему показательному неравенству: .

2) Решить полученное неравенство по следующему правилу:

То есть, если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства на противоположный.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример № 1.

(знак неравенства не меняется, так как основание 2>1).

Пример № 2.

(знак неравенства меняется на противоположный, так как основание 0<0,5<1).

Стоит отметить, что основные виды показательных неравенств совпадают с основными видами показательных уравнений. Однако решение неравенств, традиционно, несколько сложнее, так как требует, в частности, отслеживания значения основания.

Основные виды показательных неравенств

Основные виды показательных неравенств:

1) Простейшие ().

2) Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени ().

3) С вынесением общей степени ().

4) Сводящиеся к квадратным ().

5) Однородные ().

Системы показательных уравнений

Системы показательных уравнений можно разделить на несколько типов.

1) Самые простые – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая решается любым из удобных методов.

Пример такой системы: .

2) Ещё один важный тип систем показательных уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены.

Пример такой системы: .

3) Также существуют системы показательных уравнений, которые решаются различными методами. К ним относятся, к примеру, такие системы: .

Более подробно о решении систем показательных уравнений мы поговорим в практической части урока.

Системы показательных неравенств

Системы показательных неравенств преимущественно решаются стандартным методом.

Каждое из неравенств решается по отдельности (методы решения показательных неравенств мы подробнее обсудим в практической части урока), а затем находится пересечение полученных множеств решений каждого из неравенств.

Пример системы показательных неравенств: .

На этом уроке мы с вами изучили метод решения простейших показательных неравенств, рассмотрели основные виды показательных неравенств, систем показательных уравнений и неравенств.

В практической части урока мы подробно разберём основные методы решения показательных неравенств, а также систем показательных уравнений и неравенств.

Вставка 1. Решение системы неравенств

Давайте вспомним – как же решать системы неравенств. Речь пойдёт не о специфических системах (показательных, иррациональных или каких-то других), а о последнем шаге решения таких примеров.

Напомним, что подавляющее большинство таких систем разбиваются на решение нескольких отдельных неравенств. В результате получается несколько различных множеств решений каждого из неравенств. Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение полученных множеств.

Об этой части решения мы и поговорим.

Если у вас есть определённая практика и «набита рука» на решение подобных задач, то найти пересечение числовых множеств можно и «в уме». Однако, если уверенности в правильности выводов нет или множества получаются слишком громоздкими, то лучше воспользоваться проверенным средством – изображением этих множеств на числовой прямой.

Давайте вспомним, как это делается, на простых примерах.

Пример № 1. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой. Для этого вспомним основные правила:

1) Если неравенство строгое (<,>), то соответствующая точка на числовой прямой «выкалывается», а если нестрогое (), то нет.

2) Если знак неравенства «меньше» или «меньше или равно» (<,), то штрихуется промежуток слева от точки, а если «больше» или «больше или равно» (>,), то – справа.