Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.

Теория

Конспект урока

На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.

 

Определение логарифма

 

 

Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

 

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение  не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции  должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как  – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для . То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1) , так как .

2) , так как .

3) , так как .

4), так как .

 

Особые виды логарифмов

 

 

Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.

 

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: .

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием  (напомним, что ). Он обозначается следующим образом: .

 

Основное логарифмическое тождество

 

 

Исходя из определения логарифма , легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: .

 

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

 

Свойства логарифмов

 

 

Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов ().

 

1)      (т.к. ),  

2)      

3)    

4)     

5)    Формула перехода к новому основанию:  

6)    (т.к. )

7)    (т.к. )

На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.

В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Полезные ссылки:

1)      Алгебра 11 класс: "Понятие логарифма" 

2)      Алгебра 11 класс: "Понятие логарифма. Простейшие задачи"

3)      Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного" 

4)      Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Логарифм степени" 

5)      Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Решение более трудных задач" 

6)      Алгебра 11 класс: "Переход к новому основанию логарифма" 

7)      Алгебра 11 класс: "Переход к новому основанию логарифма. Решение задач"