Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

 

Эксперимент

 

Урок 4. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения. Системы логарифмических уравнений.

 

Теория

 

Конспект урока

На предыдущем уроке мы определили понятие логарифма, обсудили его основные свойства.

Сегодня мы поговорим о решении простейших логарифмических уравнений и видах логарифмических уравнений.

По аналогии с решением показательных уравнений мы воспользуемся свойствами логарифмической функции для решения логарифмических уравнений.

 

Логарифмическая функция

 

 

Рассмотрим логарифмическую функцию:

 

Рассмотрим её свойства:

1)   – это следует из определения логарифма (под логарифмом не может стоять отрицательное число или 0)

2)    Стоит отметить, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Поэтому область определения показательной функции совпадает с областью значения логарифмической и наоборот (более подробно о свойствах прямой и обратной функции мы поговорим в теме «Функции»).

3)  Точки пересечения с осями.

Ох (нули функции):  так как логарифм от 1 по любому основанию равен 0 (любое положительное число в 0 степени равно 1). Значит, график логарифмической функции проходит через точку

Оу:  – не существует, так как 0 не входит в область определения логарифмической функции.

4)   Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как область определения не симметрична относительно 0 (то есть, функция не определена при отрицательных значениях переменной).

Также функция не является периодической.

5)   При  функция монотонно возрастает на всей области определения (обратите внимание на сходство с показательной функцией).

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

6)    Графики логарифмической функции при  и имеют вид:

 

Схема решения логарифмических уравнений

 

 

Мы видим, что логарифмическая функция, как и показательная, является монотонной (монотонно возрастает при  и монотонно убывает при ).

 

Это означает, что мы можем по аналогии с простейшими показательными уравнениями определить способ решения простейших логарифмических уравнений ():  Однако при этом необходимо помнить, что под логарифмом должно стоять положительное число. Таким образом, при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать ОДЗ, а именно: проверять, что все подлогарифмические выражения, а также основания логарифмов являются положительными и основания не равны 1.

Однако можно избежать определения ОДЗ исходного уравнения, выполнив в конце проверку полученных результатов (поскольку мы не сужаем область поиска корней, а расширяем её). В большинстве случаев такой подход облегчает решение логарифмических уравнений.

Таким образом, для решения простейшего логарифмического уравнения достаточно привести обе части к одинаковому основанию, а затем приравнять подлогарифмические выражения.

Например:

Правда, в данном конкретном случае мы могли воспользоваться и определением логарифма:  Однако продемонстрированный метод более универсальный.

Любое более сложное логарифмическое уравнение решается «выливанием воды из чайника», то есть сведением его различными методами к простейшим.

 

 

Виды логарифмических уравнений

 

 

1) Простейшие

 

2)  Простейшие с переменной в основании логарифма

3)  Простейшие с переменной и в основании, и под логарифмом

4)  Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств логарифмов

5)  Сводящиеся к квадратным

 

Системы логарифмических уравнений

 

 

Системы логарифмических уравнений решаются по тем же принципам, что и системы показательных уравнений.

 

Самые простые системы логарифмических уравнений – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая решается любым из удобных методов.

Пример такой системы: .

Ещё один важный тип систем логарифмических уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены. Пример такой системы: .

Также существуют системы логарифмических уравнений, которые решаются различными методами.

Более подробно о решении систем логарифмических уравнений мы поговорим в практической части урока.

На этом уроке мы с вами обсудили свойства логарифмической функции, научились решать простейшие логарифмические уравнения. Также мы узнали об основных видах логарифмических уравнений и их систем.

В практической части урока мы научимся решать различные логарифмические уравнения и их системы.

 

Полезные ссылки:

1)      Алгебра 11 класс: "Функция y=log_ax, ее свойства и график" 

2)      Алгебра 11 класс: "Функция y=log_ax, ее свойства и график (продолжение)" 

3)      Алгебра 11 класс: "Функция y=log_ax, ее свойства и график. Решение задач" 

4)      Алгебра 11 класс: "Логарифмические уравнения" 

5)      Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических уравнений" 

6)      Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических уравнений"