Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 8.Тригонометрические формулы.

Теория

 

Конспект урока

 

Понимание принципов преобразования тригонометрических выражений

 

 

При начале изучения тригонометрии иногда возникают сложности в преобразовании выражений, содержащих тригонометрические функции.

 

Давайте для примера посмотрим на определенные выражения.

: хочется написать, что это равно , т.е. как бы вынести двойку наружу.

: в данном случае так и хочется как бы раскрыть скобки и написать, что это выражение равно .

: а здесь просто взять и перемножить синусы и углы и получить, что это выражение равно  или .

Однако все указанные действия мы выполнили неправильно, более того, стоит запомнить, что допускать такие ошибки ни в коем случае нельзя.

Проблема в понимании преобразований подобных выражений возникает, видимо, из-за того, что тригонометрические функции и логарифмы – это единственные функции, которые в стандартной школьной программе обозначаются в виде специальных буквенных сокращений. Большую часть обучения в школе используются функции, которые заданы в виде простейших арифметических действий: сложения/вычитания, умножения/деления или возведения в степень и извлечения корня. Они обозначены специальными значками, а обозначение, например синуса в виде записи  может привести к ошибочному мнению, что синус как бы умножается на , т.е. можно записать следующим образом:

 

Но это принципиально не верно, и если у вас было примерно такое представление, то необходимо сразу же от него избавиться!

Давайте разберемся на более привычном примере. Рассмотрим функцию . Мало кому придет в голову, что ее можно преобразовать как корень, умноженный на переменную , т.е. . Это выглядит как глупость, т.к. умножать значок корня на число бессмысленно. Точно так же следует относиться и к обозначениям тригонометрических функций. Хоть они пишутся в виде набора символов, которые так и хочется перепутать с переменными, но тот же  - это просто значок, и он не может ни на что умножаться, а просто обозначает определенное действие от аргумента.

Теперь, если понять, что записи всех тригонометрических функций являются просто обозначениями определенных действий, то совсем не факт, что для этих действий можно открывать скобки привычным для нас способом или выносить за знак этих действий аргументы.

Наглядными примерами здесь могут послужить все те же функции извлечения квадратного корня, для которых неверны такие равенства:

 

 

Вы можете это легко проверить, подставив.

Таким образом, не для всех функций верны привычные действия вынесения общего множителя или стандартного раскрытия скобок. И тригонометрические функции являются ярким примеров этого.

Однако это не означает, что мы не сможем преобразовывать выражения такого вида, как мы указали в начале урока: , ,  и т.п. Просто для их преобразований будут применяться специальные формулы. Мы не будем их доказывать, если вам интересно ознакомиться с происхождением этих формул подробнее, повторите главу «Преобразование тригонометрических выражений» из курса 10 класса.

 

Формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов

 

 

 Начнем с формул тригонометрических функций суммы/разности аргументов для синусов и косинусов:

 

 

1)

2)

3)

4)

Конечно же, могут возникнуть проблемы с запоминанием этих формул. Но можете обратить внимание, что в формулах преобразования синусов присутствуют произведения кофункций, т.е. синуса и косинуса, а в формулах с косинусами – произведения функций одного типа (синус на синус, косинус на косинус). Кроме этого, знаки после преобразований синусов сохраняются, а после преобразований косинусов меняются на противоположные. Подобные полезные свойства форму мы еще увидим в дальнейшем.

Теперь формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов для тангенсов и котангенсов:

1)

2)

3)

4)

Эти формулы выглядят еще менее приятно, чем предыдущие, но они используются довольно редко, и в случае надобности их можно получить с использованием второго и третьего основного тригонометрического тождества. Например,  Для тренировки можете проделать дальнейшие действия самостоятельно. Аналогичные замечания будут верны для всех формул тангенсов и котангенсов, которые вы можете увидеть далее.

 

Формулы двойного и тройного аргументов

 

 

Формулы двойного и тройного аргументов для синусов и косинусов выглядят так:

 

1)

2)

Обратите внимание, что для косинуса двойного угла существует три формулы преобразования. Наиболее часто используются две последние, т.к. позволяют привести к одной тригонометрической функции. Получить из первой формулы для косинуса двойного угла две остальные легко с помощью первого тригонометрического тождества. Попробуйте это проделать самостоятельно, т.к. это сможет помочь вам, если вы их забудете.

Формулы тройного аргумента используются реже, поэтому можно не тратить время на их запоминание, а научиться их получать из формул тригонометрических функций для суммы аргументов.

3)

4)

Формулы двойного аргумента для тангенса и котангенса:

1)

2)

Формулы тройного аргумента для тангенса и котангенса используются крайне редко, поэтому мы не будем их приводить. Если вам интересно, то можете их легко найти с помощью поисковых интернет-ресурсов или получить, как было указано ранее, с использованием второго и третьего тригонометрического тождества.

 

Формулы понижения степени

 

 

Для преобразования некоторых тригонометрических выражений удобно понизить степень функции, т.е., например, из квадратного уравнения относительно синуса сделать линейное уравнение, которое легче решить.

 

С этой целью применяются формулы понижения степени. Вот они для синуса и косинуса: 

1)

2)

Их несложно выразить из формул косинуса двойного аргумента. Попробуйте это проделать самостоятельно.

Формулы понижения степени для тангенса и котангенса:

 

1)

2)

Не забывайте, что получить формулы для тангенса и котангенса несложно, зная соответствующие формулы для синуса и косинуса.

 

Формулы понижения степени

 

 

Формулы суммы/разности тригонометрических функций синуса и косинуса:

 

1)

2)

3)

4)

Для запоминания этих формул вспомните замечания к формулам тригонометрических функций суммы/разности аргументов.

Формулы суммы/разности тригонометрических функций тангенса и котангенса:

1)

2)

3)  

4)

 

Формулы произведения тригонометрических функций

 

 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций синуса и косинуса в сумму/разность:

 

1)

2)

3)

Эти формулы вы можете легко выразить самостоятельно, используя формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов.

Аналогичные формулы для тангенсов применяются крайне редко, и мы их не будем указывать. Попробуйте найти или получить их самостоятельно.

 

Универсальная тригонометрическая замена

 

 

Есть такие тригонометрические выражения, которые необходимо привести к одной функции, но это не всегда удается сделать с помощью указанных ранее формул. В таком случае на помощь придет набор универсальных тождеств, которые помогут преобразовать любую тригонометрическую функцию к тангенсу половинного угла. Поэтому эти формулы названы универсальной тригонометрической заменой или подстановкой:

 

1)

2)

3)

4)

 

Сложение гармонических колебаний

 

 

Последней формулой этого урока будет выражение, которое сможет пригодиться, скорее всего, в задачах уровня «С», т.е. повышенной сложности. Это так называемое сложение гармонических колебаний, с помощью которого можно упрощать выражения вида:

 

,

где под вспомогательным углом  понимают .

 

Заключение

 

 

Хоть мы еще и не рассмотрели понятие обратных тригонометрических функций, но попробуйте вспомнить, что вы знаете об этом из школьной программы. На следующем уроке мы поговорим об этом подробно. 

 

Доказательство этой формулы можно выполнить с помощью формулы синуса суммы аргументов.

Еще полезно запомнить более часто встречающейся частный случай этого выражения:

 

Такое «пугающее» название этой формулы связано с ее физическим смыслом. 

Полезные ссылки:

1) Алгебра 10 класс: "Синус и косинус суммы аргументов" 

2) Алгебра 10 класс: "Синус и косинус разности аргументов" 

3) Алгебра 10 класс: "Тангенс разности аргументов" 

4) Алгебра 10 класс: "Формулы понижения степени" 

5) Алгебра 10 класс: "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность синусов)" 

6) Алгебра 10 класс: "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность косинусов)" 

7) Алгебра 10 класс: "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (задачи)" 

8) Алгебра 10 класс: "Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму" 

9) Алгебра 10 класс: "Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму (продолжение)"