Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 8. Тригонометрические формулы.

Практика

Конспект урока

Построим наше занятие следующим образом – рассмотрим примеры на преобразования тригонометрических выражений с использованием наиболее часто встречающихся формул из тех, которые мы ввели в лекции к уроку.

Такие преобразования важно уметь делать при решении некоторых типов тригонометрических уравнений.

 

Формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов

 

 

Начнем с формул тригонометрических функций суммы/разности аргументов.

 

Задача №1. Упростить выражение .

 

Формулы двойного и тройного аргументов

 

 

Теперь приведем пример задания с использованием формул двойного аргумента.

 

Задача №2. Упростить выражение .

Обратим внимание, что в числителе и знаменателе дроби записаны выражения, похожие на формулы косинуса двойного угла, только с обратным знаком. Умножим числитель и знаменатель дроби на  и подставим указанные формулы.

 

Формулы понижения степени

 

 

Задача, в которой будут использоваться формулы понижения степени.

 

Задача №3. Преобразовать в произведение .

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая имеет вид . При использовании этой формулы следует понимать, что аргумент косинуса увеличивается в два раза, а не просто становится «».

 

Формулы суммы/разности тригонометрических функций

 

 

Переходим к примеру, в котором пригодятся формулы суммы/разности тригонометрических функций. 

 

Задача №4. Преобразовать в произведение .

Умение преобразовывать в произведение бывает полезным при решении уравнений, в которых по одну сторону равенства находится ноль. Тогда используется правило, что при умножении нескольких выражений одно из них точно равно нулю, если результат произведения равен нулю. Но пока решать уравнения не будем, а потренируемся в преобразованиях.

Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы к ним можно было применить формулы сложения/вычитания тригонометрических функций:

В ходе преобразований воспользовались нечетностью функции синус.

 

Формулы произведения тригонометрических функций

 

 

Упростим выражение с использованием формул произведения тригонометрических функций.

 

Задача №5. Упростить выражение .

Подойти к решению можно двумя способами: преобразовать произведение тригонометрических функций в разность или расписать по формуле суммы разности аргументов. Первый подход в данном случае более оптимальный. Его и продемонстрируем, а вы можете самостоятельно решить вторым способом и сверить результаты.

В процессе преобразований важно не запутаться, т.к. в роли аргументов выступают  и , а такие же выражения присутствуют и в формуле произведения синусов.

Пример с использованием универсальной тригонометрической замены мы рассматривать на этом занятии не будем, т.к. этот прием тесно связан именно с решением определенных тригонометрических уравнений. Мы вспомним о нем на соответствующем уроке.

 

Сложение гармонических колебаний

 

 

Сейчас же рассмотрим задачу с применением формулы сложения гармонических колебаний.

 

Задача №6. Преобразовать выражение  к одной тригонометрической функции.

Воспользуемся формулой сложения гармонических колебаний или как ее еще иногда называют «метод введения вспомогательного угла»:

,

где вспомогательным углом является .

 

Воспользуемся нечетностью синуса и четностью косинуса и внесем минус к аргументу синуса и косинуса, чтобы выражение превратилось в сумму и стало похожим на общую формулу:

Более подробно:  и .

Теперь видно, что в роли параметра , аргумент . 

Вычислим вспомогательный угол . Мы пока не говорили об обратных тригофункциях, по плану они у нас на следующем уроке, т.к. их удобно рассматривать непосредственно перед тригонометрическими уравнениями. Пока объясним вычисление арктангенса очень просто - находим в таблице значений тригонометрических функций при каком угле тангенс равен , это угол , он и соответствует значению арктангенса.

Подставим выписанные величины в общую формулу.

Из-под корня вынесли полный квадрат.

 

Заключение

 

 

На этом практическом занятии мы привели примеры упрощения тригонометрических выражений с использованием основных формул преобразований тригонометрических функций, это в дальнейшем пригодится нам при решении некоторых уравнений.