Математика

Свойства показательной функции

 

Понятие логарифма, свойства логарифмической функции определяются свойствами показательной функции и зависят от них.

 

Напомним свойства показательной функции на конкретном примере:

Основание функции больше единицы, построим график (рис. 1):

Рис. 1. График функции

Свойства заданной функции:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, которое и называется логарифмом.

Например:

В общем случае:

 

Определение логарифма, доказательство существования логарифмической функции

 

 

Теперь мы можем вспомнить определение логарифма в общем виде.

 

При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Например:

Из всего вышесказанного можем сделать важный вывод:

На множестве  существует функция , где а – положительное число, не равное единице.

Справа показательная функция, свойства которой мы повторили, основание а – положительное число, не равное единице, функция приобретает все положительные значения, отсюда следует, что функция, стоящая слева, существует на заданном множестве значений аргумента.

Например:

 

Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, ее свойства и график

 

 

Начнем изучение логарифмической функции с рассмотрения ее частного случая, а именно

 

Составим таблицу для построения функции и ее исследования:

Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:

Остальные значения вычисляются аналогично.

			1	2	4	8
	-2	-1	0	1	2	3

Построим график функции по полученным точкам (рис. 2):

Рис. 2. График функции

Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, большим единицы, будут аналогичными.

Итак, свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Функция возрастает на всей области определения;

3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6. Область значений: ;

7. Функция выпукла вверх.

Еще раз подчеркнем: под знаком логарифма может стоять только положительное число, сам логарифм может принимать любые значения.

Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.

 

Логарифмическая функция с основанием, лежащим в пределах от нулю до единицы, ее свойства и график

 

 

Перейдем к изучению логарифмической функции с основанием меньшим единицы, рассмотрим ее на конкретном примере:

 

Составим таблицу для построения функции и ее исследования:

Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:

Остальные значения вычисляются аналогично.

			1	2	4	8
	2	1	0	-1	-2	-3

Построим график функции по полученным точкам (рис. 3):

Рис. 3. График функции 

Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до минус бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, принадлежащим промежутку от нуля до единицы, не включая границы, будут аналогичными.

Итак, свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Функция убывает на всей области определения;

3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6. Область значений: ;

7. Функция выпукла вниз.

Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.

 

Решение примера

 

 

Теперь рассмотрим типовую задачу на свойства логарифмической функции.

 

Пример 1: найти множество значений функции:

То есть, имеем логарифмическую функцию, заданную не на всей области определения, а только на ее части.

Для наглядности построим график заданной функции (рис. 4):

Рис. 4. График функции

Мы знаем, что заданная функция монотонно возрастает, т. к. основание логарифма больше единицы, т. е. для выполнения задания достаточно вычислить значения функции в граничных точках.

Ответ: при  

Итак, мы ввели понятие логарифмической функции, рассмотрели ее свойства и график. Далее мы продолжим изучение логарифмической функции.

 

Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2. Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3. Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 499, 500;

2. Найти область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Найти область определения функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .