Математика

Формула перехода к новому основанию

 

Теорема

 

Если , ,  – положительные числа, причем a и c отличны от 1, то имеет место равенство:  – формула перехода к новому основанию

Доказательство

Преобразуем данное равенство, домножив левую и правую часть на знаменатель правой части:

 

Далее возведем  в степень левой и правой части:

 

Преобразуем левую часть, применив свойство степеней:

 

Согласно основному логарифмическому тождеству:

 

Таким образом:

 

Согласно основному логарифмическому тождеству:

 

Следовательно:

 

Мы получили равенство, которое верно по основному логарифмическому тождеству. То есть:

Что и требовалось доказать.

 

Следствия из формулы перехода к новому основанию

 

 

1. Первое следствие мы вывели попутно, доказывая формулу перехода:

 

 

2. Подставим в предыдущую формулу :

 

 

 

Доказательство

Докажем третье следствие из формулы перехода к новому основанию

 , при ;

---

Доказательство

Прологарифмируем данное равенство по основанию :

 

В правой и левой части вынесем степень за знак логарифма:

 

Так как , то:

 

Согласно второму следствию из формулы перехода к новому основанию , следовательно:  

Домножим левую и правую часть на знаменатель правой части:

 

Равенство верное, следовательно:

 

Что и требовалось доказать.

 

Пример 1

 

 

Вычислите:

 

Решение

Разность логарифмов с одинаковым основанием – это логарифм частного, а сумма логарифмов с одинаковым основанием – логарифм произведения. А у нас в числителях и знаменателях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями.

 

Применяя эти свойства, получаем:

Согласно формуле перехода к новому основанию :

Следовательно: 

Из основания логарифма показатель степени  выносится за знак логарифма как , а из подлогарифмического выражения – как , то есть:

 

Следовательно: 

Ответ: .

 

Пример 2

 

 

Вычислите:

 

Решение

Нам известно следствие из формулы перехода к новому основанию:

 

С помощью этой формулы преобразуем показатель степени в данном выражении:

 

 

Таким образом:

Ответ: .

 

Пример 3

 

 

Вычислите:

 

 

Решение

Преобразуем показатель степени, избавившись от минус первой степени:

Приведем всё к одному основанию (в данном случае к 5), воспользовавшись следствием из формулы перехода к новому основанию

Домножим числитель и знаменатель на :

Следовательно:

 

Применим основное логарифмическое тождество:

 

Ответ: 5.

 

Пример 4

 

 

Известно, что , ; . Вычислить:  

 

Решение

Существует два способа решения этой задачи.

1. Перейдем в логарифмах (в выражении, которое нам необходимо вычислить) к одному основанию – . Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

а) 

Так как:

 

 – по условию, то: 

б) 

в) Таким образом: 

2. Второе решение состоит в том, что если , то . Подставив это в наше выражение, мы получим выражение с одной переменной , вычислить его будет несложно, главное не запутаться в степенях.

Ответ: .

 

Пример 5

 

 

Дано: . Найти:

 

Решение

Заметим, что все числа в условии – это комбинации двоек и троек: ; ; ; . Перейдем в данных логарифмах к основанию 2 или 3. Например, к трем:

1. 

Таким образом: 

Выразим из этого выражения : 

Домножаем это выражение на 3: 

Вычтем из левой и правой части выражения 1 и разделим эти части на 2:

 

2. 

3. Так как , то: 

Домножим числитель и знаменатель на : 

Ответ: .

---

Пример

Упростите выражение:

 

Решение

Согласно основному логарифмическому тождеству представим 2 в виде:

 

Тогда:

 

Следовательно:

 

В данном примере мы попутно доказали полезное свойство:

 

Ответ: 0.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Мнемозина, 2001.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

4. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2001.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт youtube.com (Источник)

2. Интернет-сайт «Гипермаркет Знаний» (Источник)

3. Интернет-портал «ЯКласс» (Источник)

4. Интернет-сайт «Уроки математики» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задания 1596, 1602, 1612 (стр. 237–239) – Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Задачник (Источник)

2. Докажите тождество: .

3. Докажите тождество: .