Математика

 

 

Тема: Метод интервалов

 

Урок: Логарифмические неравенства

 

1. Важные опорные факты

 

 

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида  (). Здесь t – независимая переменная, а – конкретное число, у – зависимая переменная, функция.

 

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При  монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

 

2. Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием большим единицы, пример 

 

 

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

 

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 2. Иллюстрация решения примера

Ответ:

 

3.  Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, пример

 

 

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

 

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 3. Иллюстрация решения примера

Ответ: нет решений

 

 

4.  Обобщение методики

 

 

Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т. е. неравенства вида:

 

Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.

Методика решения:

1. Уравнять основания логарифмов;

2. Сравнить подлогарифмические выражения:

- при  сохранить знак неравенства;

- при  изменить знак неравенства на противоположный;

3. Учесть ОДЗ;

 

 

5.  Решение примеров

 

 

Пример 1 – решить неравенство:

 

Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием:

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Рис. 4. Иллюстрация решения примера 1

Ответ:

Пример 2 – решить неравенство:

Уравняем основания:

Имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств. Уравняем основания в каждом из них:

В обоих случаях основание логарифма больше единицы, запишем эквивалентные системы:

Рис. 5. Иллюстрация к решению примера 2

Ответ:

Итак, мы изучили простейшие логарифмические неравенства. На следующем уроке мы рассмотрим, каким образом более сложные неравенства сводятся к простейшим

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Webmath.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 516, 517, 525;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г)