Математика

 

 

Тема: Показательная и логарифмическая функции

 

Урок: Решение логарифмических неравенств (продолжение)

 

1. Введение

 

 

Пусть а – некоторое фиксированное число, при чем , а – основание логарифма. Логарифмическая функция монотонно возрастает. Тогда нам известно эквивалентное решение логарифмического неравенства:

 

 

 Теперь пусть . Логарифмическая функция монотонно убывает:

 

2. Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств с фиксированным основанием 

 

 

Рассмотрим случай, когда основание логарифма зависит от х . Тогда нужно рассмотреть два случая:

 

Наша цель состоит в том, чтобы упростить полученную громоздкую совокупность.

 

3. Алгоритм решения логарифмических неравенств с переменным основанием, два способа   

 

 

Напомним важный опорный факт:

 

Нам потребуются следующие выражения:

 

 

4. Решение примера 

 

 

Теперь нам проще решить следующую задачу.

 

 

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Мы определили, что заданное неравенство эквивалентно следующей совокупности:

Преобразуем:

Согласно опорному факту, полученная совокупность эквивалентна системе:

Что и требовалось доказать.

 

5. Решение нестрогого неравенства с переменным основанием

 

 

Пример 1 – решить неравенство:

 

Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Решим неравенство двумя способами.

            Способ 1:

Проиллюстрируем решение:

Рис. 1. Иллюстрация к решению примера 1

Ответ:

Составим эквивалентную систему:

Проиллюстрируем решение дробно-рационального неравенства:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Получаем решение системы:

Ответ:

Теперь рассмотрим решение нестрогого логарифмического неравенства , где

Заданному неравенству эквивалентна система:

 

 

6. Решение примера

 

 

Пример 2 – решить неравенство:

 

Решаем с помощью эквивалентной системы (второй способ). Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Составим эквивалентную систему:

Покажем решение первого неравенства методом интервалов:

Рис. 3. Иллюстрация решения примера 2

Учитывая ОДЗ, имеем ответ:

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических неравенств повыщенной сложности. Далее перейдем к изучению новой темы – дифференцирование показательной функции.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Webmath.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;