Математика

Введение

 

 

Рис. 1. Предметы цилиндрической формы

Что вы представляете, когда слышите слово «цилиндр»? Кто-то представил себе трубу, она имеет цилиндрическую форму. Хлопушка, насос, палка колбасы – все они также имеют цилиндрическую форму (см. рис. 1).

Рис. 2. Пизанская башня

А что вы думаете на счет всем известной Пизанской башни? Можно назвать ее форму цилиндрической или нет, так как она наклонена? (см. рис. 2)

 

Разветвление: Пизанская башня

 

 

Пизанская башня. Кстати, а вы знали, что Пизанская башня была наклонена непреднамеренно? Все произошло потому, что почва была слишком мягкой и проседала с одной стороны – еще во время строительства. Так что не будь этого, башня была бы цилиндрической в привычном для нас смысле. Забавно, что башня продолжала наклоняться все это время, процесс завершился лишь в 2008 году, совсем недавно!

 

 

Цилиндр, его элементы и виды цилиндров

 

 

 

Рис. 3. Прямые пересекают плоскость  по окружности

Рассмотрим произвольные параллельные плоскости и. В плоскости  рассмотрим окружность с центром в точке  радиуса . Теперь проведем через каждую точку этой окружности прямую (не лежащую в данной плоскости) так, чтобы все проведенные прямые были параллельны. Эти прямые пересекут плоскость  по другой окружности того же радиуса (см. рис. 3).

 

Разветвление: Параллельный перенос

 

 

Параллельный перенос. Почему получится именно окружность? По сути, мы каждую точку перенесли на один и тот же вектор (векторы равны, так как они сонаправлены и равны по длине как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями). Но параллельный перенос есть движение, а значит, наложение, при котором фигура переходит в равную ей фигуру, ч т.д.

 

 

Сечения цилиндра

 

 

 

Рис. 4. Цилиндрическая поверхность и её образующие

Совокупность параллельных прямых, соединяющих точки на окружностях, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности (см. рис.4). И теперь мы готовы дать главное определение урока.

Рис. 5. Круговой цилиндр

Круговым цилиндром называется тело в пространстве, ограниченное двумя кругами и цилиндрической поверхностью (см. рис. 5).

Сразу оговоримся, что это понятие можно обобщить, просто цилиндр – это когда основания не круги. Но мы остановимся только на круговых, их и будем иметь в виду в дальнейшем.

Рис. 6. Основания и радиусы

Круги – основания цилиндра. Радиус каждого из оснований (они равны) – радиус цилиндра (см. рис. 6).

Рис. 7. Образующие цилиндра

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, – образующие цилиндра (см. рис. 7).

Рис. 8. Эллиптический цилиндр

Само слово цилиндр происходит от греческого «килиндрос» – валик, каток. Напомним, цилиндр, который мы рассматриваем, еще называют круговым, так как в основаниях лежат круги. Если рассмотреть другую фигуру (например, эллипс), то получится эллиптический цилиндр (см. рис. 8).

Рис. 9. Прямой цилиндр

Если образующие перпендикулярны основаниям цилиндра, такой цилиндр называется прямым (см. рис. 9).

В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно прямые круговые цилиндры, причем по умолчанию любой цилиндр считается прямым круговым. Поговорим о таких цилиндрах.

Рис. 10. Ось цилиндра

Отрезок, соединяющий центры оснований такого цилиндра, – ось цилиндра (см. рис. 10).

Рис. 11. Вращение прямоугольника вокруг оси

Вращая прямоугольник вокруг этой оси, можно получить наш цилиндр (см. рис. 11).

Рис. 12. Высота

Введем следующее определение. Высотой цилиндра назовем отрезок, соединяющий точки его оснований и перпендикулярный основаниям. Высотой прямого кругового цилиндра является ось (или образующая) – все равно: они в прямом круговом цилиндре равны (см. рис. 12).

Сечения цилиндра

Рис. 13. Перпендикулярное сечение цилиндра

Далее рассмотрим перпендикулярное сечение такого цилиндра (то есть сечение, перпендикулярное оси). Несложно понять, что, где бы мы его ни провели, в сечении будет такой же круг, что и в любом из оснований (см. рис. 13).

Рис. 14. Осевое сечение

Можно также рассмотреть сечение, проходящее через ось цилиндра. В этом случае оно представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна образующей (или оси), а другая является диаметром основания. Такое сечение называют осевым. Именно вращая такое сечение вокруг оси, мы и получаем наш цилиндр (см. рис. 14).

Рис. 15. Неперпендикулярное сечение

Наконец, можно говорить и о неперпендикулярном сечении: ведь ту же палку колбасы можно нарезать не только перпендикулярно, но и под углом. В этом случае сечение получится в форме эллипса, но об этих фигурах мы пока подробно говорить не будем (см. рис. 15).

 

Сходство цилиндра с призмой

 

 

Не сложилось ли у вас ощущения, что все это вам уже знакомо? Два равных основания, высота, боковые «ребра», равные и параллельные друг другу? Где мы это уже видели? Конечно, в призме! И так же, как с цилиндром, призмы бывали прямые и наклонные (см. рис. 16).

 

Рис. 16 Прямые и наклонные цилиндры и призмы

Просто у призмы в основаниях – многоугольники, а у цилиндра – круги. Но ведь круг – это предельный случай многоугольника, а значит, многие факты и теоремы для цилиндра будут аналогичны тем, что были верны для призмы.

 

Разветвление: Задача

 

 

Задача

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 20 см. Найти высоту цилиндра, радиус цилиндра, ось цилиндра и площадь основания цилиндра.

Решение

Одна из сторон осевого сечения – образующая (она же равна оси цилиндра и она же равна высоте). Значит, высота и ось равны 20 см. Далее, вторая сторона осевого сечения – диаметр основания. Он равен 20 см, значит, радиус – 10 см. Наконец, площадь основания ищется по формуле

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы узнали о цилиндрической поверхности, видах цилиндра, элементах цилиндра и сходстве цилиндра с призмой.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.
3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

 

Домашнее задание

1. Дайте определение цилиндра.
2. Дополните утверждение: «Осевым сечением цилиндра является…»
3. Изобразите цилиндр, на его боковой поверхности обозначьте точки  и . Постройте точку пересечения прямой с плоскостью нижнего основания цилиндра.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ped-kopilka.ru (Источник).
2. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).
3. Интернет-портал Bitclass.ru (Источник).