Математика

Введение

 

Тема урока: «Сложение и вычитание смешанных чисел».

 

Но дело в том, что это не новые числа. Смешанное число  – это два и еще . Просто сумма двух чисел.

Мы умеем уже складывать целые числа, дробные числа. А сложение смешанных чисел – это то же самое, это сложение целых чисел и сложение обыкновенных дробей. Надо использовать те знания, которые у нас уже есть.

Остается рассмотреть, почему они так пишутся и так называются, и убедиться на примерах, что никаких новых знаний нам не нужно, никаких новых правил учить не понадобится.

 

Пример 1

 

 

Сложить два смешанных числа: , .

 

Напишем у каждого знак «+».

Теперь мы лучше видим все 4 слагаемых. Сложим теперь так, как нам удобнее.

Целые числа 7 и 2 сложить легко.

Обыкновенные дроби мы тоже умеем складывать. Приведем их к общему знаменателю.

Ответ: .

 

Пример 2

 

 

 

Поставим знаки «+»:

Сложим отдельно целые числа и отдельно обыкновенные дроби.

Дробь  уже можно записать как смешанную, убрав знак плюс, но обыкновенную дробь можно записать и проще. Выделим целую часть.

К целой части добавляется еще единица.

Ответ: 
.

 

Пример 3

 

 

 

Поставим знаки «+»:

Можно сложить отдельно целые числа и дроби, но у дроби  можно выделить целую часть, станет проще.

Ответ: .

 

Пример 4

 

 

 

 

Вычитание смешанных дробей

 

 

А как вычитать? Все опять просто.

 

Как можно иначе записать смешанную дробь с минусом впереди?

Минус относится ко всей дроби. Можно поставить скобки и минус перед ними или раскрыть скобки. Минус будет у каждого слагаемого.

 

Пример 5

 

 

 

Здесь полезный навык – это уметь отнять от единицы или другого целого числа правильную дробь.

 

Вычитание правильной дроби из целого числа

 

 

1) 

 

2) 

3) 

Сложение двух отрицательных смешанных дробей не представляет проблемы.

Пример 6

Ответ: .

Необязательно расписывать все подробно.

Если вы чувствуете себя уверенно, то многое можно делать в уме.

 

Задание

 

 

Самостоятельно выполните несколько заданий, а потом проверьте.

 

Проверяем.

 

---

Смешанные числа

Дроби нужны для записи нецелых количеств: треть пути, четверть часа, половина яблока. Это все примеры, когда количество меньше одного. Но нецелое количество может быть и больше одного: полтора литра молока; два с половиной часа; три с половиной километра. Как удобнее всего записывать эти количества?

Если мы делим 7 яблок на троих, то это можно сделать двумя способами:

1) Каждое яблоко делим на три части и раздаем эти части всем участникам. Каждый такой кусочек – это  яблока.

В итоге каждый получит 7 таких кусочков: .

2) Проще каждому раздать по два яблока. А оставшиеся разделить на три части и раздать. Все-таки легче резать одно яблоко, чем семь.

В итоге каждый получит по два целых и еще по одной трети: .

Это разные записи одного и того же количества.

Такие количества, целое плюс дробное, встречаются часто.

Чтобы упростить запись, договорились, что можно не писать знак «+»:

.

В последней записи смешались целое и дробное число. Поэтому такую запись назвали смешанным числом или смешанной дробью.

И неправильная дробь, и смешанная обозначают одно и то же количество.

Какая удобнее? Это зависит от ситуации.

По смешанной легче представить количество.

По левой записи мы понимаем только, что это число больше единицы. А вот по правой – что число почти равно трем, чуть-чуть больше трех, на .

Складывать и вычитать дроби удобнее в виде смешанного числа, а умножать и делить – в виде обыкновенной дроби.

Десятичные дроби очень близки к смешанным числам – это почти одно и то же. Просто разная запись, но смысл один. Сначала записывается целая часть, потом дробная.

Если у десятичной дроби целая часть равна нулю, то она легко записывается обыкновенной правильной дробью, просто ноль целых в смешанной дроби не пишем.

Итак, между целой и дробной частями смешанной дроби пропущен знак «+». Если это помнить, то не нужно никаких дополнительных правил.

Чтобы превратить смешанную дробь в обыкновенную, нужно сложить целое число и дробь.

Чтобы сложить целое число с дробью, представим 4 как дробь со знаменателем единица, приведем ее к знаменателю 7, домножив числитель и знаменатель на 7.

Или, в другую сторону, вынесем целую часть из неправильной дроби.

Нам давно знаком этот способ. Деление столбиком с остатком – это и есть вынесение целой части.

Вернемся к 7 яблокам, которые мы делим на троих.

Разделим столбиком 7 на 3 с остатком.

Ответ: 2 и 1 в остатке. То есть по два целых яблока уже досталось всем, и одно осталось. Его нужно делить на три части.

Конечно, в таком простом случаем мы обойдемся без деления столбиком.

Число 7 больше трех и не делится на три. Его можно разбить на две части – часть, которая делится на 3 – 6, и остаток, который меньше трех, – 1. 6 яблок делится на 3, это два, и еще одно делим на три. Это .

В более сложных случаях все-таки нужно воспользоваться делением в столбик.

Чтобы вынести целую часть, разделим числитель на знаменатель в столбик.

Получили 27 и 5 в остатке. То есть, мы разбили число 221 на две части: первая, которая делится на 8 и дает в результате 27 (саму эту часть мы не видели, но нетрудно догадаться по остатку, что она равна 216) и остаток, меньший 8, – это 5:

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989. 

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011. 

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт "Школьный помощник" (Источник)

2. Интернет-сайт "Гипермаркет знаний" (Источник)

3. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 376.

2. 

3.