Математика

Введение

 

Точки, отрезки, прямые – это всё идеальные модели, которых в жизни не существует, но они очень удобны для изучения предметов, похожих на них.

 

Ничего удивительного в этом нет – например, мы говорим «стол». Но столов много, про какой конкретно идет речь? Вместе с тем фразу «сижу за столом» все понимают, потому что в голове каждого из нас есть модель стола.

То же самое можно сказать и про шар. В природе и технике есть много объектов, похожих на шар: воздушный шар, капля, планета, футбольный мяч…

Все эти объекты разные, их формы немного отличаются, но все они похожи. Поэтому займемся изучением математической модели всех этих объектов – шаром.

 

Сфера и шар

 

 

Когда мы говорили про круг, то речь шла о двух объектах – самом круге и окружности, то есть его границе. Хотя люди в обычном разговоре часто путают круг и окружность, они очень разные, поэтому для них и используются разные названия. Круг – это плоская фигура, у него есть площадь. Окружность – это линия, граница круга. У нее нет площади, но есть длина. (См. Рис. 1.)

 

Рис. 1. Круг и окружность

Так и мы, когда начинаем говорить про шар, то у нас тоже возникают два объекта. И им тоже дали отдельные названия. Это сам шар и его поверхность. Ее иногда так и  называют «поверхность шара», но у нее есть отдельное название – «сфера».

Почему сфера (поверхность шара) важна? Рассмотрим это вот на таком примере.

Люди живут на Земле. Они живут на поверхности огромной шарообразной планеты, то есть на сфере. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Поверхность Земли

Когда мы задаем вопрос: «Каково расстояние от Москвы до Нью-Йорка?», мы имеем в виду, каково это расстояние для транспорта, то есть расстояние, измеренное на сфере. На само же деле две эти точки ближе, если измерять по прямой. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Расстояние на сфере и по прямой

Итак, давайте теперь точнее опишем, что же мы называем шаром и сферой.

Отметим точку, это будет центр. Возьмем произвольный отрезок с одним концом в выбранном центре. Его длину обозначим . Все точки пространства, куда дотянется второй конец отрезка, образуют сферу. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Сфера

Если взять не только точки сферы, но и все точки внутри нее, то получится шар. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Шар

Отрезок, который мы использовали для определения шара, называют радиусом. (Рис. 6.) Длину этого отрезка тоже называют радиусом. То есть под радиусом понимают две вещи: и отрезок, и число (длину отрезка).

Рис. 6. Радиус шара

Отрезок, проходящий через центр, соединяющий две точки на сфере, называют диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам. Обозначают диаметр буквой , маленькой или большой. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Диаметр шара

Если это повторить коротко, то получим точные определения:

Сфера – это множество точек, удаленных от данной точки на расстояние . Данная точка называется центром, расстояние  – радиусом сферы.

Шар – множество точек, удаленных от данной точки не далее, чем на расстояние . Точка называется центром, расстояние  – радиусом шара.

Центр и радиус для шара и ограничивающей его сферы одни и те же.

 

Шар и круг

 

 

Шар во многом похож на плоскую фигуру круг (примерно, как куб во многом похож на квадрат).

 

1. У круга, как и у шара, есть центр и радиус. Окружность выполняет для круга такую же роль, как сфера для шара, – является границей. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Иллюстрация к пункту 1

2. Определения круга и шара очень похожи, в обоих случаях это множество точек, удаленных не далее чем на радиус от центра. Разница только в том, что круг находится на плоскости, а шар – в трехмерном пространстве. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Иллюстрация к пункту 2

3. Если круг начать вращать, используя диаметр как ось вращения, то получится шар. (См. Рис. 10). А если окружность – то сфера. (См. Рис. 11.)

Рис. 10. Круг образует шар

Рис. 11. Окружность образует сферу

4. Если шар пересечь плоскостью, то получится круг. (См. Рис. 12.1)

Рис. 12.1. Иллюстрация к пункту 4

В зависимости от того, как проходит плоскость, круги будут получаться разных размеров.

Если плоскость проходит через центр шара, то полученный в сечении круг называют большим кругом. (См. Рис. 12.2)

Рис. 12.2. Большой круг

 

Географические координаты

 

 

Сечения плоскостями земного шара используются для задания системы координат на нем.

 

Вот Земля. Сверху Северный полюс, снизу Южный. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Полюса Земли

Чтобы записывать или, например, передавать другу, где находится то или иное место на Земле, нужно договориться о каких-то координатах. Решили поступить так.

Если Землю пересекать вертикальными плоскостями, проходящими через оба полюса, мы будем получать большие круги, а на поверхности – окружности. Их (вернее их половинки от полюса до полюса) назвали меридианами. По меридиану считают одну координату – долготу. Естественно, для этого нужно какой-то меридиан принять за начало отсчета. А остальным присвоить числовые значения, считая от этого нулевого. Сейчас существует договоренность за нулевой меридиан считать тот, который проходит через обсерваторию района Лондона Гринвич. Его так и называют – Гринвичский. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Меридианы

Вторая часть окружности нулевого меридиана считается равной . Для перпендикулярного большого круга восточный меридиан считается , западный . (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Восточный и западный меридианы

Теперь, если Землю пересекать параллельными горизонтальными плоскостями, мы будем получать окружности разного размера на поверхности. Их назвали параллелями. В отличие от меридианов среди параллелей только одна является окружностью большого круга. Ее называют экватор. И она принята за ноль для другой координаты – широты. (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Параллели

Вверх, на север, принято считать положительное направление. Самая большая координата получается на Северном полюсе: . На юг – отрицательные координаты: до , которая соответствует Южному полюсу. (Рис. 17.)

Рис. 17. Координаты параллелей

Теперь каждая точка на земной сфере получает две числовые координаты, зная которые, можно абсолютно точно указать место, о котором идет речь. Обычно используют термины: северная широта – для обозначения положительного направления широт, южная широта – для обозначения отрицательного направления широт; восточная долгота – для обозначения положительного направления долгот, западная долгота – для обозначения отрицательного направления долгот. (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Термины

Так, например, географические координаты центра Москвы:  северной широты,  восточной долготы. (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Координаты Москвы

Дети капитана Гранта искали своего отца по записке в бутылке, где были указаны его географические координаты. Неприятность была в том, что одна координата, а именно долгота, оказалась размыта водой. Осталась только одна координата –  параллель южной широты. (См. Рис. 20.)

Рис. 20.  параллель южной широты

Им пришлось проплыть и пройти пешком вдоль этой параллели огромное расстояние, прежде чем они нашли отца. Ну а если бы обе координаты сохранились, то и приключенческой книги не получилось.

 

Изображение шара

 

 

Потренируемся изображать шар. Сначала построим окружность. Центр окружности будет являться и центром шара. (См. Рис. 21.)

 

Рис. 21. Построили окружность

Чтобы показать объем, что это именно шар, чертят хотя бы один большой круг, чаще горизонтальный. (См. Рис. 22.) Теперь уже понятно, что изображен шар.

Рис. 22. Шар

Можно добавить еще один большой круг, вертикальный. (См. Рис. 23.)

Рис. 23. Дополнительный большой круг

 

Характеристика шара: радиус

 

 

Если рядом находятся два одинаковых мяча, мы не думаем, что это один и тот же мяч. Они все-таки имеют какие-то различия, пусть и не очень заметные. (См. Рис. 24.)

 

Рис. 24. Два одинаковых мяча

Если рядом находятся два шара, то разница с предыдущим примером в том, что один шар ничем не отличается от другого, кроме местоположения его центра. (См. Рис. 25.)

Рис. 25. Два шара

Поэтому два шара с равными радиусами, если это нам удобно, можно считать одним и тем же шаром. Это можно сказать и так: радиус однозначно задает шар с точностью до положения его центра.

Какие еще характеристики шара, кроме радиуса, нам интересны?

Шар – это математическая модель реальных объектов. Мы живем на поверхности Земли, которая очень похожа на шар. (См. Рис. 2.) Люди измеряют пространство, на котором они живут. В итоге они задаются и вопросом: а какова вообще площадь Земли?

А, например, при изготовлении футбольного мяча нужно знать количество кожи, которое для этого понадобится. (См. Рис. 26.)

Рис. 26. Неизвестное количеств кожи для изготовления мяча

С точки зрения математики это означает необходимость ответа на следующий вопрос: какова площадь поверхности шара или площадь сферы?

 

Характеристика шара: площадь поверхности

 

 

Если увеличивать радиус шара, то будет увеличиваться и площадь его поверхности. (См. Рис. 27.)

 

Рис. 27. При увеличении радиуса увеличивается площадь поверхности

Но все-таки хотелось бы знать, как именно связана площадь поверхности с радиусом шара. Здесь все оказалось достаточно просто. Рассмотрим полусферу и круг под ней (большой круг). (См. Рис. 28.)

Рис. 28. Полусфера и большой круг

Очевидно, площадь полусферы, этого колпака, больше площади круга. Она ровно в два раза больше: . Этот факт мы запомним, хоть и не будем его доказывать. Но тогда все понятно.

Площадь такого круга мы знаем: .

Площадь полусферы в два раза больше: .

А площадь всей сферы, или поверхности шара, еще в два раза больше: .

Итак, площадь сферы в  раза больше площади большого круга и выражается формулой: .

Если взять два глобуса, радиус одного в два раза большого второго, то площадь поверхности будет различаться в  раза. То есть если постараться эти глобусы развернуть и превратить в плоские карты, то одна будет в  раза по площади больше другой. (См. Рис. 29.)

Рис. 29. Пример с глобусами

Если у апельсина в три раза больше диаметр, чем у мандарина, то кожура у апельсина по площади уже в 9 раз больше. (См. Рис. 30.)

Рис. 30. Пример с фруктами

 

Задача на площадь поверхности

 

 

Чему равна площадь поверхности мыльного пузыря диаметром  см? (См. Рис. 31.)

 

Рис. 31. Иллюстрация к задаче

Решение

Диаметр шара, как и у круга – это два радиуса: . То есть  см. Тогда:

Ответ: .

 

Округление числа π

 

 

У многих возник вопрос: почему в задаче с мыльным пузырем мы взяли примерное значение числа , а не более привычное ? Всегда будет возникать вопрос: как точно брать десятичное приближение числа ?

 

Число  имеет в своей десятичной записи бесконечное количество цифр: . Мы можем взять любое количество цифр из этой записи, в зависимости от необходимой точности вычислений, и правильного количества здесь нет. (См. Рис. 32.)

Рис. 32. Число

У нас с вами две противоположные цели. С одной стороны – мы хотим посчитать значение как можно точнее, с другой – мы хотим выполнить меньше вычислений. Приближенное значение  очень удобно для расчетов. Но давайте посмотрим, что здесь с точностью. Мы пожертвовали всем десятичным хвостом после запятой: . Посчитаем, какую часть от числа  оно составляет. Разделим этот хвост на само число :

То есть запись  дает ошибку приблизительно .

То же самое посчитаем для числа  Отбросим хвост, начиная с третьего знака после запятой: . Разделим этот хвост на само число :

То есть запись  дает ошибку приблизительно .

Теперь ответим на вопрос: какая точность нужна была для задачи с мыльным пузырем?

Диаметр пузыря равен  см. Но ведь это не точное значение, т. к. измеряли предметом, который измеряет с точностью до сантиметров, то есть ошибка измерений могла доходить до  см. (См. Рис. 33.)

Рис. 33. Погрешность в измерении мыльного пузыря

Разделим ошибку на диаметр, чтобы найти неточность измерений:

Значит, ошибка составляет .

Теперь вопрос: если ошибка измерений могла доходить до , то имеет ли смысл брать приближенное значение числа  с ошибкой ? Нет. Ошибки в  достаточно. То есть приближенное значение  вполне оправдано.

Пример задачи. Конструктор рассчитывает длину обода колеса гоночного автомобиля. (См. Рис. 34.)

Рис. 34. Гоночный автомобиль

В таком случае нужны очень точные измерения, и здесь может не хватить  или .

Каждый раз, решая задачу с использованием числа , задумайтесь, насколько точный ответ вам нужен и насколько точные измерения были перед этим проведены. Приближение  дает ошибку . Каждый следующий знак уменьшает ошибку приблизительно в  раз или, грубо говоря, на порядок.

 

Характеристика шара: объем

 

 

Кроме поверхности, нас часто интересует, каков объем шарообразного предмета.

 

Сколько воздуха в шаре или мыльном пузыре, сколько воды помещается в круглый аквариум, сколько нужно свинца, чтобы изготовить одну дробину нужного радиуса?

То есть возникает вопрос: каков объем шара, как его найти?

Объем шара тоже тем больше, чем больше радиус шара. Точная формула выглядит так:

На этом уроке мы ее примем без доказательства.

 

Задача на объем

 

 

Сколько воды необходимо, чтобы наполнить круглый аквариум на ? Диаметр аквариума –  см. (См. Рис. 35.)

 

Рис. 35. Иллюстрация к задаче

Решение

Найдем сначала объем аквариума: .

Радиус равен половине диаметра:  см. Тогда объем аквариума:

Ответ  не воспринимается совсем. Да и кто же будет измерять в такой ситуации воду кубическими сантиметрами? Переведем это в привычные литры:

Для перевода в литры разделим результат на :

л.

Теперь найдем  этого количества:  л.

В нашей логике округления  литра не очень заметны. Округляем до  литров: л.

Ответ: л.

 

Заключение

 

 

Итак, повторим, что мы обсудили на этом уроке.

 

• Шар и круг имеют одинаковые определения: множество точек, удаленных от данной точки не более чем на данное расстояние. Только круг находится на плоскости, шар – в трехмерном пространстве. В обоих случаях данная точка называется центром, а расстояние – радиусом. (См. Рис. 36.)

Рис. 36. Круг и шар

• Как окружность – это граница круга, так и сфера – это граница шара. Определения окружности и сферы тоже одинаковые. (См. Рис. 37.)

Рис. 37. Окружность и сфера

• Площадь поверхности шара или площадь сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса и вычисляется по формуле:

Ее легко вывести, если помнить, что площадь полусферы над кругом в два раза больше площади самого круга. (См. Рис. 38.)

Рис. 38. Формула поверхности шара

• Объем шара прямо пропорционален кубу радиуса и вычисляется по формуле: .

Если радиус шара увеличить в два раза, то: (см. Рис. 39)

• площадь поверхности, так как она пропорциональна квадрату радиуса, увеличится в  раза ();
• объем увеличится в  раз ().

Рис. 39. Иллюстрация к пояснению

Самостоятельно ответьте на вопросы:

Как изменится площадь поверхности и объем шара, если диаметр увеличить в  раз?

Как изменится площадь сферы, если объем шара уменьшился в миллион раз? (подсказка: используйте радиус как промежуточную величину)

 

Список литературы

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч. 2 – 128 с.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Math-prosto.ru (Источник).
3. Calc.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Чему равны объем и площадь поверхности шара, если радиус равен  см?
2. Как изменятся объем и площадь поверхности шара, если радиус увеличить в  раза?
3. Найдите диаметр, объем и площадь поверхности шара, если радиус равен  см.