Математика

Введение

 

Мы уже знаем, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестные (переменные). Пока мы будем говорить только об уравнениях с одной переменной. Рассмотрим уравнение: .

 

Подставим в уравнение вместо неизвестной . Получаем , неверное равенство.

Аналогичная ситуация возникнет, если подставим двойку: .

А вот если подставим тройку, то получим: , то есть верное равенство: .

Такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, называют корнями уравнения. То есть число  является корнем данного уравнения.

А есть ли ещё у этого уравнения корни? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо научиться решать уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет (например, у уравнения  нет корней, так как левая часть всегда равна нулю).

Как же найти этот корень (или корни)? Можно пробовать наугад подставлять разные числа и проверять, верное или неверное равенство получилось. Но этот метод больше напоминает поиск «иголки в стоге сена», так как чисел бесконечно много и все перебрать не получится. Значит, нужно научиться преобразовывать ту информацию, которая содержится в уравнении таким образом, чтобы найти его корни.

Начнем с уравнений, которые не вызывают у нас проблем при решении. С одной стороны уравнения переменная, с другой – число: .

Ответ: .

Ответ: .

В самом деле если подставлять вместо  другие числа, то верного равенства не получишь.

 

Эквивалентные уравнения

 

 

Рассмотрим следующий пример: .

 

Уравнение – это информация о неизвестной переменной. Мы еще не знаем, чему равно , но знаем, что если  умножить на  и вычесть единицу, то получится . Но одну и ту же информацию можно сообщить разными, эквивалентными способами. Если после вычитания единицы будет , значит, до вычитания единицы было .Значит, эту же информацию можно записать и так: .

Мы еще не нашли корень этого уравнения, но знаем, что он такой же, как и у исходного уравнения. Такие уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют эквивалентными.

Уравнение  эквивалентно первому, но выглядит проще. Если  умножить на , то получится . Но тогда если мы вспомним, что такое деление, то по определению получаем, что .

Это опять та же самая информация, но уже в явном виде. Корень этого уравнения .

Все уравнения были эквивалентны. Значит, является корнем и первого уравнения.

В самом деле подставим в первое уравнение вместо переменной. Получили верное равенство:

Ответ: .

Вот мы и получили идею метода решения уравнения. Нужно переписывать исходное уравнение в эквивалентном виде так, чтобы в итоге получилось простейшее уравнение, у которого в одной части переменная, а в другой число.

И остался последний вопрос. Что можно делать с уравнением, как его можно преобразовывать, чтобы новое уравнение было эквивалентно предыдущему?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Если в двух вазах одинаковое количество яблок (пусть даже неизвестно, сколько точно), то если добавить в каждую по  яблока, то количества в обеих снова будут одинаковы (рис. 1).

Такая же ситуация и с уравнением. Уравнение – это равенство двух количеств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число или переменную, то полученное уравнение будет эквивалентно исходному: .

Договоримся для краткости говорить, что уравнение не изменится (хотя внешне оно уже будет выглядеть иначе).

 

Эквивалентные преобразования. Перенос слагаемых

 

 

Пример 1. Добавить к обеим частям уравнения можно любое число. Но нужно выбрать такое, чтобы уравнение упростилось. Рассмотрим пример: .

 

Смотрим на ту часть, где находится переменная. Если там не будет слагаемого , то станет проще (получим в левой части переменную, а такие уравнения мы уже умеем решать). Если к числу прибавить противоположное, то в результате будет ноль. Для числа  противоположным является . Добавим число  к обеим частям уравнения.

Ответ: .

Пример 2.

Переменная входит в обе части уравнения. Мы же хотим, чтобы переменная была только в одной части (такие уравнения мы умеем решать). Добавим к обеим частям:

Ответ: .

 

Пример 3.

Добавим к обеим частям уравнения . Сравним исходное уравнение и полученное. В левой части  исчезло, а в правой появилось противоположное число . Похоже, что число  мы перенесли в правую часть, поменяв у него знак.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак на противоположный (это действие эквивалентно добавлению к обеим частям слагаемого, противоположного перенесённому).

Ответ: .

 

Пример 4.

Перенесем в правую часть, а  – в левую. У обоих слагаемых при этом меняем знак на противоположный.

Ответ: .

 

Эквивалентные преобразования. Домножение и деление

 

 

Давайте снова обратимся к нашему опыту. Пусть в двух вазах одинаковое количество яблок. Увеличим количество яблок в каждой в два раза. Будет ли и теперь количество одинаковым? Конечно, будет. А если бы мы уменьшили количество яблок в каждой вазе в три раза? Опять количества остались бы равными.

 

Так же и с уравнением: если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же ненулевое число, то новое уравнение будет эквивалентно исходному (или мы говорим «не изменится»).

Примеры: . Поделим обе части уравнения на : .

Ответ: 6.

Умножим обе части уравнения на : .

Ответ: .

Следующий пример: .

Разделим обе части уравнения на : .

Ответ: .

Решим еще несколько уравнений.

Пример 1.

Ответ: .

Пример 2.

Проверка: .

Ответ: .

Пример 3.

Ответ: .

 

Заключение

 

 

При решении уравнений наша цель – привести исходное уравнение к виду «неизвестная равна числу», в этом случае мы решили исходное уравнение.

 

Пример:

Для этого мы сначала собираем все слагаемые с неизвестной в одной части уравнения, а остальные – в другой:

Для решения уравнений мы используем следующие эквивалентные преобразования.

• Добавление или вычитание к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или, по-другому, перенос слагаемых в другую часть уравнения с изменением его знака):

 

Или:

• Домножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое выражение:

1)

2)

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана – Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Лена24.рф (Источник).           
2. For6cl.uznateshe.ru (Источник).   
3. School-assistant.ru (Источник).   

 

Домашнее задание

1. Решите уравнения:

1.

2.

3.

2. Решите уравнения:

1.

2.

3.

3. Решите уравнения:

1.          

2.           

3.

4.          

5.