Математика

Первое свойство уравнений. Иллюстрирующий пример. Формулировка

 

Рассмотрим решение уравнения:

 

Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), разделив обе части уравнения на 5.

Число 8 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Сформулируем первое свойство уравнения.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.

 

Применение первого свойства уравнений. Упражнения

 

 

Пример 1.

 

Умножим обе части уравнения на 9. Тогда коэффициент перед  станет целым.

Ответ:

Пример 2.

Умножим обе части уравнения на 10. Тогда коэффициенты перед  станут целыми.

Ответ:

Пример 3.

Разделим обе части уравнения на 20.

Ответ:

Пример 4.

Разделим обе части уравнения на 2,1.

Ответ:

 

Второе свойство уравнений. Иллюстрирующие примеры. Формулировки

 

 

Рассмотрим решение уравнения:

 

Число 4 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Заметим, что уравнение (2) можно было получить, перенеся число +5 из левой части в правую с противоположным знаком:

Сформулируем второе свойство уравнения:

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Рассмотрим решение еще одного уравнения: .

Вычтем из левой и правой части уравнения . Тогда  останется только в левой части.

Число 4 – это корень уравнения (3) и корень уравнения (4).

Второе свойство уравнений можно сформулировать иначе.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то корни уравнения не изменятся. Если из левой и правой части уравнения вычесть одно и то же число, то корни уравнения не изменятся.

 

Применение второго свойства уравнений. Упражнения

 

 

Пример 1.  

 

Воспользуемся вторым свойством уравнений. Принято слагаемые, которые содержат неизвестное, собирать в левой части уравнения, а остальные в правой.

Пример 2.  

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

 

Примеры решения более сложных уравнений

 

 

Пример 1.  

 

Сначала раскроем скобки.

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

Пример 2.

Воспользуемся основным свойством пропорции. Произведение средних равно произведению крайних.

Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

 

Линейные уравнения. Определение

 

 

Во всех рассмотренных примерах мы приводили уравнение к виду

 

Уравнения такого вида называют линейными уравнениями с одним неизвестным. Уравнения, которые можно с помощью преобразований привести к такому виду, называют сводящимися к линейным.

 

Упражнение

 

 

При каких значениях переменной  значение выражения  равно значению выражения ?

 

Составим уравнение и решим уравнение.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

Ответ: при

 

Текстовая задача

 

 

Условие. Рост мальчика – 75 см и еще половина его роста. Найдите рост мальчика.

 

Решение.

1. Пусть  (см) – половина роста.

Тогда весь рост равен  (см),

с другой стороны, весь рост –  (см).

Составим уравнение:

75 см – половина роста

2.  – весь рост мальчика

Ответ: 150 см.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012: № 1333, № 1342 (а, г, ж, л), № 1343.
2. Другие задания: № 1345, № 1347.