Математика

48. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Изучим, как сравнивать, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Пример 1. Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 15.

$\frac{2}{3}=\frac{2\bullet 5}{3\bullet 5}=\frac{10}{15}$

$\frac{3}{5}=\frac{3\bullet 3}{5\bullet 3}=\frac{9}{15}$

$\frac{10}{15}>\frac{9}{15}$ _ $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$_.

Пример 2. Найдем значение суммы$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$.

Надо привести дроби к общему знаменателю (15). Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 5, а числитель и знаменатель второй дробь умножим на 3.

$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$.

Пример 3. Найдем значение разности $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}$.

Надо привести дроби к общему знаменателю (15). Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 5, а числитель и знаменатель второй дробь умножим на 3.

$\frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{1}{15}$.

Пример 4. Найдем значение выражения $\frac{10}{51}+\frac{5}{9}+\frac{1}{9}+\frac{7}{51}$.

Сгруппируем дроби, имеющие одинаковые знаменатели, и затем выполним сокращение дробей.

$\frac{10}{51}+\frac{5}{9}+\frac{1}{9}+\frac{7}{51}=\left(\frac{5}{9}+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{10}{51}+\frac{7}{51}\right)=\frac{6}{9}+\frac{17}{51}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$.

Пример 5. Найдем значение выражения $\frac{31}{35}-\left(\frac{17}{35}+\frac{1}{5}\right)$.

Первое действие в скобках – найдем сумму, для этого приведем к общему знаменателю 35. Затем применим правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и выполним сокращение дроби.

$\frac{31}{35}-\left(\frac{17}{35}+\frac{1}{5}\right)=\frac{31}{35}-\left(\frac{17}{35}+\frac{7}{35}\right)=\frac{31}{35}-\frac{24}{35}=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}$.

Пример 6. Вычислим разность: $\frac{7}{24}-\frac{5}{36}$.

Надо привести дроби к общему знаменателю. Дроби несократимые, поэтому определим наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

24 = 2 · 2 · 2 · 3; 36 = 2 · 2 · 3 · 3;

НОК(24,36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72.

Находим дополнительные множители:

72 : 24 = 3; 72 : 36 = 2.

$\frac{7}{24}-\frac{5}{36}=\frac{7\bullet 3}{24\bullet 3}-\frac{5\bullet 2}{36\bullet 2}=\frac{21}{72}-\frac{10}{72}=\frac{11}{72}$.