Математика

49. Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению целых частей и сложению их дробных частей.

Напомним, что запись $2\frac{1}{6}$ является сокращенным вариантом записи $2+\frac{1}{6}$.

Также напомним правила выделения целой части изнеправильной дроби:

$\frac{13}{6}=\frac{\left(2\bullet 6\right)+1}{6}=2\frac{1}{6}$ $\frac{17}{9}=\frac{9+8}{9}=1\frac{8}{9}$.

Чтобы сложить смешанные числа, например $2\frac{1}{6}$ и $1\frac{8}{9}$, нужно:

1. Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.

   $2\frac{1}{6}+1\frac{8}{9}=2\frac{3}{18}+1\frac{16}{18}$.

2. Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и сложить эту дробь с полученной целой части.

   $2\frac{3}{18}+1\frac{16}{18}=2+1+\frac{3}{18}+\frac{16}{18}=3+\frac{19}{18}=3+1+\frac{1}{18}=4\frac{1}{18}$.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1. Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то нужно эту дробь превратить в неправильную дробь, для этого нужно уменьшить на единицу целую часть.

2. Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

   $2\frac{1}{6}-1\frac{8}{9}=2\frac{3}{18}-1\frac{16}{18}=1\frac{21}{18}-1\frac{16}{18}=\left(1-1\right)+\left(\frac{21}{18}-\frac{16}{18}\right)=\frac{5}{18}$.

Пример 1. Найдем значение суммы $16\frac{3}{8}+19\frac{1}{4}$.

Приведем дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем запишем смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей.

$16\frac{3}{8}+19\frac{2}{8}=16+\frac{3}{8}+19+\frac{2}{8}=\left(16+19\right)+\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{8}\right)=35+\frac{5}{8}=35\frac{5}{8}$.

Пример 2. Найдем значение суммы $5\frac{5}{6}+3\frac{3}{4}$.

Сначала приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно складываем целые части и дробные части.

$5\frac{10}{12}+3\frac{9}{12}=\left(5+3\right)+\left(\frac{10}{12}+\frac{9}{12}\right)=8+\frac{19}{12}=8+1\frac{7}{12}=9\frac{7}{12}$.

Пример 3. Найдем значение разности $5\frac{7}{9}-2\frac{1}{6}$.

Приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и запишем данные числа в виде суммы целой и дробной частей.

$5\frac{14}{18}-2\frac{3}{18}=\left(5+\frac{14}{18}\right)-\left(2+\frac{3}{18}\right)=\left(5-2\right)+\left(\frac{14}{18}-\frac{3}{18}\right)=3+\frac{11}{18}=3\frac{11}{18}$.

Если при вычитании дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить дробь в неправильную, уменьшив на единицу целую часть.

Пример 4. Найдем значение разности $3\frac{4}{9}-1\frac{5}{6}$.

Приведем дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18.

$3\frac{8}{18}-1\frac{15}{18}=\left(2+1\frac{8}{18}\right)-1\frac{15}{18}=\left(2+\frac{26}{18}\right)-\left(1+\frac{15}{18}\right)=\left(2-1\right)+\left(\frac{26}{18}-\frac{15}{18}\right)=1+\frac{11}{18}=1\frac{11}{18}$.