Математика

Функции чисел и координатная плоскость

 

У чисел есть 3 основные функции:

 

1. Задают порядок (например, нумерация вагонов: 1-й вагон, 2-й вагон, 3-й вагон).
2. Задают количество (например, «в поезде 5 вагонов» или «мы купили 5 яблок»).
3. Задают имя (например, номер автомобиля или телефона).

  Но чаще всего числа выполняют несколько функций одновременно. Так, места в кинотеатре нумеруются и числа являются именами для каждого места (Рис. 1).

Рис. 1. Нумерация мест в кинотеатре

Но вместе с тем использование чисел упрощает поиск места благодаря тому, что числа задают порядок и количество: если вы возле 3-го кресла в ряду, то знаете, что через 8 кресел будет 12-е (Рис. 2).

Рис. 2. Числа задают порядок и упрощают поиск места в кинотеатре

Представьте, насколько сложнее было бы искать место, если бы кресла в кинотеатре были обозначены картинками или даже подписаны пофамильно.  

Обратите внимание, что для нумерации кресел в зале используют именно 2 числа. Так определить место будет удобнее. Представьте, что в кинотеатре все места будут просто пронумерованы от 1 до 1000 – поиск своего места всё равно будет затруднительным.

Итак, у каждого кресла есть имя (адрес), состоящий из двух чисел: номер ряда и номер кресла в ряду. Точки на глобусе тоже задаются двумя числами – долготой и широтой. Это адрес географической точки, ее географические координаты (Рис. 3).

Рис. 3. Географические координаты точки

Таким образом, адрес или координаты точки – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.

  Математиками была разработана удобная модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (точнее, расположение мест в этом зале). Такая модель получила название координатная плоскость.

 

Система координат на прямой

 

 

Вы уже знакомы с тем, как это делают на прямой. Для вычисления расстояний на прямой и задания порядка на ней вводят ось координат (Рис. 4).

 

1. Выбирают 0 – начало координат.
2. Выбирают направление.
3. Выбирают единичный отрезок.

Рис. 4. Координатная ось

Тогда каждой точке можно присвоить свою координату (расстояние от нее до нуля с соответствующим знаком) (Рис. 5).

Рис. 5. Определение координат точек на оси

И точно так же по любой координате можно восстановить точку (Рис. 6-7).

Рис. 6. Построение точки

Рис. 7. Построение точки

Т.е. на прямой нам достаточно одного числа, чтобы определять положение точки. На плоскости одного числа уже не хватает. Почему?

 

Декартова система координат

 

 

Пусть нам известно, что мы отъехали от города на 100 км. В таком случае мы не можем точно определить свое положение, но мы знаем, что находимся на окружности с центром в городе и радиусом 100 км (Рис. 8).

 

Рис. 8. Положение машины, отъехавшей от города на 100 км

Чтобы задать положение машины точно, нужно еще задать направление, в котором мы ехали (Рис. 9).

То есть нужно второе число.

Рис. 9. Задание направления движения автомобиля

Присвоить каждой точке на плоскости имя из двух чисел можно разными способами. Остановимся подробно на уже известном нам способе – прямоугольной системе координат.

Она состоит из двух взаимно перпендикулярных осей (отсюда название – прямоугольная): икс и игрек (ось абсцисс и ось ординат) (Рис. 10).

Рис. 10. Прямоугольная система координат

Указав по каждой из осей координату, мы можем однозначно восстановить точку на плоскости (как ряд и место в кинотеатре).

Такую систему координат называют декартовой, в честь учёного Рене Декарта, который ее придумал (Рис. 11).

Рис. 11. Рене Декарт

---

 

Другие системы координат

Чтобы присвоить точке числовой адрес (ее координаты), используются и другие системы координат.

Есть несколько причин для использования различных систем координат, а именно:

1. Размерность.

На этом уроке мы рассматриваем прямоугольную систему координат на плоскости (Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольная система координат

Точка на плоскости однозначно задаётся двумя числами. В таком случае говорят, что размерность плоскости равна 2. А вот у прямой – другая размерность, равная 1.

Точка на прямой может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад, вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта (Рис. 2).

 

Рис. 2. Пример изменения положения точки в одном направлении

Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет обозначать то расстояние, которое проехал автомобиль (Рис. 3), или этаж, на котором находится лифт (Рис. 4).

Рис. 3. Координата обозначает расстояние, которое проехал автомобиль

Рис. 4. Координата обозначает этаж, на котором находится лифт

В математике такая система координат называется числовой или координатной осью.

Размерность пространства может быть и больше, например, 3 (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны 3 координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. Такая система координат строится точно так же, как на плоскости, только добавляется третья ось  (ось аппликат) (Рис. 5).

Рис. 5. Построение прямоугольной системы координат в пространстве

2. Цель использования.

В нашем примере мы устанавливали положение автомобиля с помощью расстояния до города и направления движения. На самом деле мы использовали полярную систему координат. В полярной системе координат есть точка отсчета – начало координат и направление отсчета (Рис. 6).

 

Рис. 6. Полярная система координат

Для того чтобы задать точку, мы указываем расстояние до начала координат и угол отклонения от направления отсчета.

Если на плоскости задать одновременно и полярную, и декартову системы координат, то можно выразить декартовы координаты  и  через полярные  и  и наоборот (Рис. 7).

 

Рис. 7. На плоскости заданы и полярная, и декартова системы координат

Т.е. все системы координат на плоскости эквивалентны, мы можем от одной перейти к другой.

Итак, прямоугольная система координат широко используется в математике, но не является единственной.

---

 

 

Координатные четверти

 

 

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части – координатные четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки (Рис. 12).

 

Рис. 12. Нумерация координатных четвертей

1. Если точка имеет положительную координату  и положительную координату , то она лежит в I четверти.
2. Если точка имеет отрицательную координату  и положительную координату , то она лежит во II четверти.
3. Если точка имеет отрицательную координату  и отрицательную координату , то она лежит в III четверти.
4. Если точка имеет положительную координату  и отрицательную координату , то она лежит в IV четверти (Рис. 13).

Рис. 13. Принадлежность точек к координатным четвертям

 

Пример определения координат точки

 

 

Пример 1. Определить координаты точек  (Рис. 14).

 

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 1

Решение:

На рисунке показана точка  на координатной плоскости. Для того чтобы найти координаты этой точки, необходимо через точку провести две прямые, параллельные координатным осям (они обозначены пунктирной линией) (Рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 1

Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата  точки , а пересечение другой прямой с осью ординат – это координата  точки . Сначала указывают координату , потом  (Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к примеру 1

Точка  имеет координаты .

Аналогично находим координаты точки , она имеет координаты  (Рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к примеру 1

Ответ:

 

Можно сделать все и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.

 

Примеры построения точек по заданным координатам

 

 

Рассмотрим несколько примеров работы в декартовой системе координат.

 

Пример 2. Построить точки по заданным координатам .

Решение:

Для построения точки необходимо отложить число 2 на оси  и провести перпендикулярную прямую (Рис. 18), а на оси  отложить число 5 и провести перпендикулярную оси  прямую (Рис. 19).

Рис. 18. Иллюстрация к примеру 2

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 2

На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами  (Рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Для построения точки  необходимо отложить на оси  число 3 и провести перпендикулярную оси  прямую, а на оси  отложить число -1 (переместиться на 1 в отрицательном направлении, вниз) и провести перпендикулярную оси  прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами  (Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 2

Пример 3. Построить точки по заданным координатам .

Решение:

Для построения точки  необходимо отложить число 3 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (Рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к примеру 3

Для построения точки  необходимо отложить число 2 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (Рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к примеру 3

Таким образом, если нулю равна координата , то точка лежит на оси , а если нулю равна координата , то точка лежит на оси .

---

 

Практика

Задание 1. Определить координаты точек  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию 1

Решение:

Возьмем для начала точку . Опускаем прямую, перпендикулярную оси  (Рис. 2). Эта прямая пересекает ось  в точке 1.

Рис. 2. Иллюстрация к заданию 1

Теперь опускаем прямую, перпендикулярную оси  (Рис. 3), она пересекает ось  в точке 3.

Рис. 3. Иллюстрация к заданию 1 Точка  имеет координаты  (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к заданию 1

Переходим к точке . Точно так же опускаем прямую, перпендикулярную оси . Она пересекает ось  в точке . Опускаем прямую, перпендикулярную оси . Прямая пересекает ось  в точке 5. Точка  имеет координаты  (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 1

Переходим к точке . Опускаем прямую, перпендикулярную оси . Эта прямая пересекает ось  в точке 4. Теперь опускаем прямую, перпендикулярную оси , она пересекает ось  в точке . Точка  имеет координаты  (Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к заданию 1

Ответ: .

 

Задание 2. Отметить точки  на координатной плоскости (Рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к заданию 2

Решение:

Первая координата по оси абсцисс у точки  – это число 3. Находим на оси  точку 3, проводим через нее перпендикулярную оси  прямую (Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к заданию 2

Второй координатой точки  является число . Значит, находим на оси  точку , проводим через нее прямую, перпендикулярную оси  (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к заданию 2

На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами  (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 2

Теперь отметим точку . Находим первую координату точки  на оси  и проводим через нее прямую, перпендикулярную оси . Затем находим точку  (вторую координату точки  проводим через нее прямую, перпендикулярную оси . На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами  (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 2

Задание 3. Определить, в какой четверти находится точка .

Решение:

Координаты у точки  – числа большие, и искать их на координатной плоскости будет сложно и не нужно.

Вспомним, что все четверти координатной плоскости определяются знаком каждой из координат (Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 3

У точки  первая координата – отрицательная . Значит, точка  находится слева от оси , т.е. либо во II, либо в III четверти (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 3

Координата  точки  – положительная . Значит, точка находится в верхней полуплоскости, т.е. сверху от оси  (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к заданию 3

Если точка находится слева от оси  и сверху от оси , значит, она находится в левом верхнем углу, т.е. во II четверти (Рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к заданию 3

Ответ: II четверть.

---

Заключение

На этом уроке мы вспомнили, что такое координатная плоскость и декартова система координат, научились отмечать точки на координатной плоскости, зная их координаты. Также мы научились по изображению точки определять её координаты и потренировались определять координатные четверти, в которых лежат точки.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

2. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)

3. Интернет-портал mathematics-time.blogspot.ru (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Построить точки по заданным координатам: .

2. Определить координаты точек  по рисунку.

3. Определить четверти, в которых лежат следующие точки: .