Математика

Введение. Зачем нужны координатная ось и координатная плоскость?

 

Координатная ось и координатная плоскость нужны для того, чтобы связать местность, точку пространства с числом или упорядоченной парой чисел. Такая связь используется давно. Например, на дороге ставят указатель расстояния до какого-либо объекта, месторасположение которого характеризуется одним числом. Математики разработали модель, удобную для описания любой прямолинейной дороги – это координатная ось. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчёта, масштаб и направление отсчёта (на прямой отмечаем точку 0 и точку 1 (см. Рис. 1)). Этим мы добились взаимооднозначного соответствия между точками и числами (например, числу 3 сопоставляется единственная точка A на координатной прямой, точке B сопоставляется единственное число -2 – координата этой точки).

 

Рис. 1. Координатная ось

Математиками также была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале), так как известно, что в билете указывается номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в которой номера упорядочены. Такая модель получила название координатная плоскость. На данном уроке, тема которого: «Координатная плоскость. Терминология», мы рассмотрим координатную плоскость с прямоугольной системой координат.

 

Координатная плоскость. Основные сведения

 

 

Чтобы из обычной плоскости получить координатную с прямоугольной системой координат, необходимо провести две координатные оси, пересекающиеся в точках начала отсчёта. Горизонтальная ось называется ось абсцисс (направление отсчёта – слева направо), вертикальная – ось ординат (направление отсчёта – снизу вверх) (см. Рис. 2).

 

Любой точке M координатной плоскости сопоставляются два числа (две координаты): . Для получения этих координат необходимо через точку M провести две прямые, параллельные координатным осям. Одна прямая пересечёт ось абсцисс (ось X) в точке  с координатами , вторая прямая пересечёт ось ординат (ось Y) в точке  с координатами  (см. Рис. 2).

Четыре прямых угла, образованных координатными осями, называются координатными углами.

Рис. 2. Координатная плоскость

 

Задача 1. Построение точек по заданным координатам

 

 

Построить точки по заданным координатам , .

 

Решение

Для построения точки M необходимо отложить единицу на оси X и провести перпендикулярную прямую; на оси Y откладываем число 3 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку M с координатами

Для построения точки N необходимо отложить на оси X число 3 и провести перпендикулярную оси X прямую; на оси Y откладываем число 1 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку N с координатами  (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

 

Задачи на определение координатного угла

 

 

Задача 2

 

По знакам координат определить, в каком координатном углу находится точка.

а)  причём .

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку M (см. Рис. 4а).

Рис. 4а. Иллюстрация к задаче

Ответ: точка Mлежит во втором координатном углу (ΙΙ).

б)  причём

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку N (см. Рис. 4б).

Рис. 4б. Иллюстрация к задаче

Ответ: точка N лежит в третьем координатном углу (ΙΙΙ).

в)  причём

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку P (см. Рис. 4в).

Ответ: точка P лежит в четвёртом координатном углу (ΙV).

Рис. 4в. Иллюстрация к задаче

Задача 3

В каких координатных углах находятся точки?

а) С положительной ординатой –  

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки больше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или втором (точка N) координатном углу (см. Рис. 5а).

Рис. 5а. Иллюстрация к задаче

Ответ: Ι, ΙΙ.

б) С отрицательной ординатой –

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки меньше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в третьем (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5б).

Ответ: ΙΙΙ, ΙV.

Рис. 5б. Иллюстрация к задаче

в) С положительной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки больше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5в).

Рис. 5в. Иллюстрация к задаче

Ответ: Ι, ΙV.

г) С отрицательной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки меньше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать во втором (точка M) или третьем (точка N) координатном углу (см. Рис. 5г).

Ответ: ΙΙ, ΙΙΙ.

Рис. 5г. Иллюстрация к задаче

 

Задачи на определение уравнения прямой

 

 

Задача 4

 

Постройте точки , , , , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек абсцисса одинаковая и равна 4, следовательно, они лежат на одной (вертикальной) прямой (см. Рис. 6), уравнение которой .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 5

Постройте точки , , , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек ордината одинаковая и равна 3, следовательно, они лежат на одной (горизонтальной) прямой (см. Рис. 7), уравнение которой .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 6

По данным рисунка 8 напишите уравнения прямых и координаты точек их пересечения.

Решение

На рисунке видим, что абсцисса точки M равна 5, а ордината равна 4 (). Аналогично находим координаты других точек: ; ; .

Уравнение прямой MK , так как ордината у любых точек этой прямой равна 4. Уравнение прямой NP , так как ордината у всех точек этой прямой равна -3. Уравнение прямой MN , так как абсцисса у всех точек этой прямой равна 5. Уравнение прямой KP , так как абсцисса у всех точек этой прямой равна -3.

Ответ:; ; ; .  (MK);  (NP);  (MN);  (KP).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

 

Итоги урока

 

 

На этом уроке мы узнали, что такое координатная плоскость, способ её получения из обычной плоскости, а также решили типовые задачи.

 

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
2. Clck.ru (Источник).
3. Словари и энциклопедии на Академике (Источник).

 

Домашнее задание

1. Как построить точку ?
2. Какие знаки имеют координаты точек во втором координатном углу?
3. В какой четверти располагается точка ?
4. Постройте фигуру по заданным точкам:
5. Отметьте на координатной плоскости точки, ; и . Проведите прямые  МN и КР. Найдите координаты точки пересечения прямых.