Математика

Введение

 

Продолжаем разговор о том, как решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

Повторим основные мысли:

• Уравнение – это условие, наложенное на переменные. Или – это та информация, которая нам известна про переменные. Нам известно, что сумма  и  равна : .
• Объединение двух уравнений в систему означает, что эти условия выполняются одновременно. Или, иными словами, информация нам известна про одни и те же переменные. Нам известно, что сумма  и  равна , а также что  минус  равно : .
• Решение системы – это пара чисел, являющаяся решением каждого уравнения. Если коротко, то это общее решение для обоих уравнений. Пара  является решением каждого уравнения, а значит, и всей системы.

 

Метод подстановки

 

 

Рассмотрим систему уравнений: .

 

Первое уравнение нам сообщает, что . Тогда запишем, что .

Говорят: «мы выразили переменную  из первого уравнения».

Так как уравнения объединены в систему, значит, речь в каждом идет про одни и те же  и . Значит, все, что мы знаем про  из первого уравнения, мы можем использовать во втором.

Заменим во втором уравнении  на равное ему выражение. Вот именно здесь и появляется метод подстановки. Информацию из одного уравнения подставляем в другое. Получим: .

Получили уравнение с одной переменной , которое мы уже умеем решать:

Теперь эту информацию, про , используем в первом уравнении.

Решение системы – это пара чисел .

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в обычной жизни. Кто хочет, может изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.

---

Поиск в социальных сетях

Представьте такую ситуацию. Вы в гостях у своего друга Пети познакомились с девочкой Женей и, уже вернувшись домой, решили найти ее в социальной сети.

Вот что вы знаете:

1. Она подруга Пети

2. Она тоже учится в  классе, хоть и в другой школе

3. Зовут Женя

4. Живет тоже в Москве

Каждое из этих условий имеет очень много решений по отдельности. Друзей у Пети много, -классниц огромное количество, девочек с именем Женя тоже и так далее.

Но так как все эти условия относятся к одному человеку, то это система: , а решением системы является такой человек, который соответствует сразу всем условиям. И решаем эту систему мы методом подстановки. Выбираем одно условие, потом туда подставляем другое и так далее.

Итак:

Открываете страничку Пети и выбираете список всех его друзей. Это решения первого условия. Их . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Решение первого условия системы

Подставляем сюда второе условие. Раз в  классе, то ее возраст от  до  лет. Количество решений уменьшилось до . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Выполнение первых двух условий системы

Добавляем условие, которое мы изначально забыли, но нам его подсказала сеть – пол. Женский. Осталось . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Еще одно условие

Город Москва. Осталось 37 человек (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Выполнение еще одного условия

Имя Женя. Осталось два человека. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Итог после выполнения всех условий

Итак, система имеет  решения, из них несложно выбрать нужного нам человека.

Мы последовательно в одно условие подставляли другое и так  раза, то есть решили задачу методом подстановки.

 

Пример (с графическим методом)

 

 

Решить систему: .

 

Решение

Выражать переменную легче ту, коэффициент перед которой равен единице. Если нет переменной с таким коэффициентом, то выражаем любую переменную из любого уравнения.

Выразим из первого уравнения переменную  (выбрали ее, потому что у нее наименьший коэффициент, но это не принципиально):

Подставим во второе уравнение вместо  полученное выражение:

Получили уравнение только с переменной . Решим его:

Так, .

Подставим найденное значение  в выражение для :

Поменяем местами первое и второе уравнение:

Сделаем проверку, подставив решение в каждое уравнение.

Получаем верные равенства:

Проиллюстрируем решение системы графически.

Для каждого уравнения системы выберем по два решения. Например,  и  для  и  и  для

Отметим эти решения в виде точек и проведем через них прямые. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Графики уравнений

Получили графики (множество решений) каждого уравнения. Точка пересечения  и есть решение системы.

 

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки

 

 

1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения.

 

2. Подставить полученное выражение во второе уравнение.

3. Решить уравнение с одной переменной.

4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

 

Примеры

 

 

1. Решить .

 

Решение

Выразим  из первого уравнения:

И подставим во второе:

Во втором уравнении получили очевидный факт, верное равенство. Эта запись не несет никакой полезной информации для нас, мы ее можем исключить. Остается только первое уравнение.

Система эквивалента одному уравнению: , а ее решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.

Проиллюстрируем решение системы графически.

Возьмем два решения для первого уравнения:  и .

Но они же являются решениями и для второго. Два графика совпадают. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Графики совпадают

Решение уравнения и есть решение системы. То есть решений у системы бесконечно много – вся прямая.

Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

2. Решить .

Решение

Выразим  из первого уравнения: .

Подставим выражение во второе уравнение: .

Решим полученное уравнение с одной переменной:

Получили неверное числовое равенство. То есть уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос – при каких значениях  и : ? Не существует таких значений. Делаем вывод: система не имеет решений.

Построим графики уравнений этой системы. Выбираем по два решения для каждого уравнения и строим графики. (См. Рис. 8.) Например,  и  для  и  и  для .

Рис. 8. Графики уравнений

Они параллельны друг другу. То есть нет общих точек (общих решений) у этих графиков. Вывод: решений у системы нет.

Таким образом, если после подстановки мы получили неверное числовое равенство, то решений у системы нет.

3. Решить:

Решение

Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем  и подставляем во второе уравнение:

Получаем решение: .

Построим графики этих уравнений. График первого уравнения – прямая, параллельная оси , проходящая через отметку  на оси . Второй график проходит, например, через точки  и . Точка пересечения – решение системы. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Графики уравнений

 

Заключение

 

 

Итак, повторим.

 

1. Уравнения системы – это информация про одни и те же переменные. Поэтому информацию из одного уравнения можно использовать в другом, подставлять в другое уравнение: .

2. Для решения системы выражаем одну (любую) переменную из любого уравнения и подставляем во второе уравнение: .

3. Получим уравнение с одной переменной. Решаем его:

4. Полученное значение переменной подставим в первое и находим оставшуюся переменную: ; ;  .

5. Если в ходе решения в одном уравнении пропали все переменные и получилось ВЕРНОЕ числовое равенство: , это значит, что уравнения были эквивалентны друг другу, решениями системы являются решения любого из них. Их бесконечно много.

6. Если в ходе решения мы получили НЕВЕРНОЕ числовое равенство: , это означает, что одно уравнение не имеет общих решений со вторым. У системы нет решений.

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

3. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение: .

2. Решить уравнение: .

3. Решить уравнение: .