Математика

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение

(х-10)(х+5)(х-7) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения

Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0

Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7

Это уравнение имеет три корня.

А вот уравнение

0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.

Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0

Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Выразим неизвестный множитель х.

х = $\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}$

Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.

Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней, ведь на ноль делить нельзя.

Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство

0*х = 0 верно при любых значениях х.

Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.

Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.

Рассмотрим задачу:

За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.

Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.

По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.

Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.

В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:

(х+2)*9 = (х-2)*11

9х+18 = 11х-22

11х-9х = 18+22

2х = 40

х = 20

За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.