Математика

Уравнения в нашей жизни

 

Шерлок Холмс прославился тем, что он мог по наблюдаемым, хотя, казалось бы, далёким деталям делать выводы или предположения о людях и событиях, которых он совсем не знал или был едва знаком.

 

- Здравствуйте! – приветливо сказал Холмс, пожимая мне руку с силой, которую я никак не мог в нем заподозрить.

- Я вижу, вы жили в Афганистане.

- Как вы догадались? – изумился я.

Чуть позже Холмс объясняет цепочку умозаключений, которая привела его к такому выводу:

Этот человек по типу – врач, но выправка у него военная. Значит, военный врач. Он только что приехал из тропиков – лицо у него смуглое, но это не природный оттенок его кожи, так как запястья у него гораздо белее. Лицо изможденное, - очевидно, немало натерпелся и перенес болезнь. Был ранен в левую руку – держит ее неподвижно и немножко неестественно. Где же под тропиками военный врач-англичанин мог натерпеться лишений и получить рану? Конечно же, в Афганистане».

В повседневной жизни мы тоже делаем подобные открытия. Если вы пришли домой и видите в прихожей лишнюю пару обуви, то понимаете, что дома гости (хотя самих гостей вы ещё не увидели) (Рис. 1). Если обувь большого и маленького размера, то легко догадаться, что пришли взрослые и дети.

Рис. 1. Открытия в повседневной жизни

Иногда мы используем вычисления, чтобы по косвенным и непрямым данным определить то, что от нас скрыто. Рассмотрим пример.

Пример 1. Мама пошла в магазин и купила 5 килограммов огурцов за 100 рублей. По этим данным определить стоимость одного килограмма огурцов.

Решение: Для нахождения стоимости одного килограмма огурцов разделим общую стоимость огурцов на количество купленных килограммов: .

Ответ: 20 рублей.

 

В примерах выше по видимой и известной нам информации мы определили то, что от нас было скрыто.

 

Задача на составление уравнения с одной переменной

 

 

Задача 1. У пяти мальчиков поровну яблок, а всего яблок 60. Как узнать, сколько яблок у каждого мальчика? (Рис. 2)

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение: Итак, мальчиков 5 и у каждого неизвестное одинаковое число яблок – обозначим это как «количество яблок у мальчика».

Запишем, сколько тогда всего яблок:

По условию задачи всего яблок 60, т.е.:

Мы переписали условие задачи в эквивалентном виде и получили уравнение. Уравнение содержит всю информацию из условия задачи, которая необходима для решения.

Т.к. писать каждый раз «количество яблок у мальчика» неудобно, то используем буквы, например, Я:

Однако в математике традиционно используются латинские буквы (например, ), т.е уравнение можно записать так: .

Это уравнение содержит известную нам информацию о мальчиках и яблоках, решим его. Какое число нужно умножить на 5, чтобы получилось 60? Это число 12:

Значит, у каждого мальчика было по 12 яблок, т.е. .

Ответ: 12 яблок.

 

Конечно, для решения этой задачи было необязательно составлять уравнение, однако часто информация, которая задана, не так просто преобразуется в итоговый ответ.

---

 

Уравнение

Уравнение    может быть эквивалентной записью условий абсолютно разных задач. Например, есть 5 одинаковых мешков с деньгами и всего в мешках ровно 60 тысяч монет.

После того как мы переписали всю известную нам информацию из условия в виде уравнения, у нас больше нет необходимости обращаться к самой задаче. Мы решаем непосредственно уравнение, при этом нам неважно, о чем была задача – о мешках с деньгами или о мальчиках с яблоками. То есть, научившись решать какой-то вид уравнений, мы научимся решать целый спектр задач.

---

 

 

Линейное уравнение

 

 

При эквивалентном переписывании условия задачи могут получаться разные уравнения.

 

Например, в рассмотренном выше примере получилось уравнение: .

Такое уравнение называется линейным (о том, почему оно так называется, мы поговорим на следующих уроках).

Стандартное линейное уравнение имеет вид:  где  – любые фиксированные числа,  – переменная – то, что требуется найти.

 

 

Как решать уравнение

 

 

Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, т.е. .

 

Значит, решением уравнения ,  будет .

 

Пример 2. Дано уравнение: . Найти .

Решение:

Ответ: 4.

 

Пример 3. Дано уравнение: . Найти .

Решение:

Ответ: .

 

При переписывании в эквивалентном виде условия задачи может получиться любое уравнение, необязательно вида . Но есть много уравнений, которые можно свести к такому виду с помощью эквивалентных преобразований, например, . В этом нам помогут тождественные преобразования уравнений.

 

Прибавление одинаковых выражений к обеим частям уравнения / их вычитание из обеих частей уравнения

 

 

Представим, что у нас есть две чаши весов, которые уравновешены (Рис. 3).

 

Рис. 3. Уравновешенные чаши весов

Нарушится ли равенство, если мы добавим на каждую из чаш гирю одинаковой массы? Конечно, нет (Рис. 4).

Рис. 4. Равенство весов не нарушается при добавлении гирь одинаковой массы на каждую из чаш

Вернемся к уравнению: .

Левую и правую части уравнения можно считать чашами таких весов. То есть мы можем прибавить к обеим частям уравнения одинаковые выражения – от этого равенство не нарушится, мы получим эквивалентное уравнение.

---

 

Тождественные преобразования

Тождественные преобразования – это такие преобразования, которые меняют только внешний вид уравнения, но не меняют информацию, которая в нем содержится.

Например, . Понятно, что в обоих уравнениях неизвестное будет равняться 3.

Чтобы сформулировать более строгое определение, сначала познакомимся с понятием равносильных (эквивалентных) уравнений.

Определение 1. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или оба не имеют корней.

Например,

 

Определение 2. Тождественным, или равносильным, называют такое преобразование уравнения, при котором полученное уравнение равносильно исходному.

Например, если прибавить к обеим частям уравнения  число 5, то получится равносильное уравнение .

 

---

 

Почему это преобразование будет тождественным

Уравнение – это равенство, которое содержит переменную.

Равенство может быть верным, если в качестве переменной подставить корень уравнения, а может быть неверным, если подставить любое другое число, которое не является корнем уравнения.

Если равенство было верным, то, прибавляя к обеим частям одно и то же число (или выражение), мы снова получим верное равенство.

Если же равенство было неверным, то и после прибавления одного и того же выражения к обеим частям оно останется неверным.

Проводя аналогию с весами: если весы были уравновешены и мы поставили на каждую чашу гирю одинаковой массы, то равновесие сохранится. А если весы не уравновешены, то и после того, как мы поставим на каждую чашу гири одинаковой массы, они уравновешенными не станут.

 

Эквивалентные (тождественные) преобразования позволяют использовать стандартный математический приём – свести задачу к предыдущей.

В нашем примере: привести линейное уравнение к стандартному виду, в котором мы уже умеем его решать. Например, если в уравнении  к обеим частям прибавить , то получим: .

А такое уравнение записано в стандартном виде и мы можем его решить:

Аналогично мы могли бы убирать с чаш весов одинаковые гири, равновесие при этом не нарушится. Значит, если вычитать одинаковые выражения из обеих частей уравнения, то мы получим уравнение, равносильное исходному, то есть не изменим информацию, которая в нем содержалась.

Внимательно посмотрим на уравнения :

Уравнения  отличаются тем, что  перешло из левой части в правую и при этом сменило свой знак – стало .

Первое тождественное преобразование уравнений можно сформулировать по-другому: если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, при этом изменив его знак на противоположный, то мы получим новое уравнение, равносильное исходному.

---

 

 

Умножение/деление обеих частей уравнения на ненулевое число

 

 

Снова вернемся к аналогии с весами: пусть сначала они были уравновешены (Рис. 5), а потом мы положили на каждую чашу еще ровно столько, сколько там было, т.е. увеличили массу в 2 раза. При этом равновесие не нарушится (Рис. 6).

 

Рис. 5. Уравновешенные весы

Рис. 6. Уравновешенные чаши весов после увеличения массы в 2 раза

Если увеличить массу на каждой чаше весов в 3 раза или в 100 раз, то равновесие все равно сохранится. Так, если обе части уравнения умножить на одно и то же ненулевое число, то полученное уравнение будет эквивалентно предыдущему.

Аналогично, можно забрать с каждой чаши половину, треть или какую-то другую одинаковую часть (уменьшить в несколько раз) – равновесие не нарушится. Если обе части уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, то при этом получится уравнение, эквивалентное исходному.

 

Обратите внимание, что ни умножать, ни делить обе части уравнения на 0 не имеет смысла. С делением на 0 понятно – оно не определено, а вот почему умножение на 0 не имеет смысла, читайте ниже.

---

 

Почему не имеет смысла умножать на

Пусть есть два уравнения: . Они несут разную информацию. Когда мы умножаем на 0, то всегда получаем 0.

Поэтому, если умножить обе части обоих уравнений на 0, мы получим два уравнения:

Во-первых, эти равенства достигаются при любых значениях переменных, а во-вторых, они несут в себе одну и ту же информацию. То есть, умножая на 0, мы стираем всю информацию, которая заключалась в равенствах.

Если провести аналогию с весами, то при умножении на 0 мы убираем содержимое с обеих чаш весов. То есть независимо от того, что было на весах, были они уравновешены или нет, после умножения на 0 мы всегда получим равновесие.

---

 

 

Решение уравнений (алгоритм сведения уравнений к линейным)

 

 

Решим несколько уравнений, которые можно свести к линейным.

 

Существует общий алгоритм их решения: для этого сначала нужно перенести в одну часть все слагаемые, которые содержат переменную, а в другую часть – все слагаемые, которые её не содержат. Затем нужно упростить выражения, которые стоят в левой и правой частях.

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение: Здесь все слагаемые, которые содержат переменную, уже стоят в левой части уравнения, а все слагаемые, которые ее не содержат, стоят в правой части. Поэтому можно просто упростить выражение – выполнить действия в обеих частях:

Ответ: .

 

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение: Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а все слагаемые без переменной – в правую часть.

Перенесем слагаемое  из левой части уравнения в правую и сменим его знак на противоположный:

Ответ: 4.

 

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение

Способ 1. Избавимся от знаменателя в левой части уравнения, для этого умножим обе части уравнения на 5:

Способ 2. Такое уравнение можно решить по-другому, как линейное уравнение стандартного вида:

Ответ: 20.

 

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение: Сначала раскроем скобки, используя распределительный закон ():

А теперь сгруппируем подобные слагаемые, то есть все слагаемые с переменной перенесем в левую часть, а остальные – в правую (не забываем при переносе менять знак):

Ответ: .

 

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение

Способ 1. Перенесем слагаемые с неизвестной в одну сторону, а все остальные – в другую, получим:

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

Способ 2. Избавимся от знаменателей: умножим обе части уравнения на такое число, которое делится и на 12, и на 6, и на 4, и на 3, т.е. наименьшее общее кратное всех этих чисел – на 12:

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а все слагаемые без переменной – в правую:

Ответ: 1.

 

Таким образом, встречая какое-то уравнение, мы можем попробовать привести его с помощью тождественных преобразований к линейному уравнению вида . А такие уравнения мы уже умеем решать.

Напомним тождественные преобразования, которые мы использовали при решении уравнений:

1. Прибавление одинаковых выражений к обеим частям уравнения / вычитание одинаковых выражений из обеих частей уравнения.
2. Умножение и деление на ненулевое число обеих частей уравнения.

Обратите внимание: тождественные преобразования верны не только для линейных уравнений, но и для любых уравнений в целом, поэтому они нам понадобятся и в дальнейшем.

 

Заключение

На этом уроке мы научились решать линейные уравнения с одной переменной стандартного вида. Кроме того, мы познакомились с тождественными преобразованиями, которые позволяют сводить линейные уравнения к стандартному виду, а значит, решать их.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

 

Домашнее задание

1. В двух классах 60 человек. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если девочек на 6 больше, чем мальчиков? Составьте и решите уравнение, обозначив за  количество мальчиков в классе.
2. Решите уравнение: .
3. Решите уравнение: .