Математика

Аксиома параллельных прямых

Около 2300 лет назад, греческий математик Евклид написал книгу “Начала”, в которой систематизировал все сведения по геометрии. Этот труд лег в основу изучения геометрии на многие века вперед и остается актуальным и в наши дни. Евклид предложил метод, который теперь называется аксиоматическим и широко применяется в математике и других науках. Суть его состоит в том, что при изложении некоторой теории в самом начале формулируется ряд утверждений, называемых аксиомами, истинность которых считается несомненной.

Аксиомы должны быть достаточно простыми и соответствовать нашему опыту. А дальнейшее развитие теории состоит в доказательстве теорем, вытекающих только из заданных аксиом.

Система аксиом Евклида на протяжении более 2000 лет совершенствовалась многими авторами. В настоящее время существует много различных редакций системы аксиом евклидовой геометрии. Приведём самые важные для нас аксиомы.

Аксиомы евклидовой геометрии на плоскости

Через любые две точки проходит прямая, и причем только одна.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Хотя прежде мы не формулировали эти аксиомы, мы уже пользовались ими.

Подробно рассмотрим аксиому о параллельности.

На плоскости через точку М, не лежащую на прямой а, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой а.

Аксиома параллельности — самое знаменитое математическое предложение в истории. Начиная со времен Евклида, многие математики не воспринимали аксиому параллельности именно как аксиому, а стремились ее доказать, потому что она казалась сложнее остальных аксиом. За 2000 лет было предложено очень много «доказательств», но все они имели один и тот же порок: каждый автор, сам того не замечая, обязательно использовал в своих рассуждениях ту самую аксиому параллельности, которую стремился доказать! В математике это называется порочным кругом. Ясно, что подобные рассуждения доказательством не являются.

Рассмотрим два следствия из аксиомы параллельных прямых.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну параллельную прямую, то она пересекает и другую.

Дано: a||b, b пересекает c в точке М.

Доказать: с пересекает а.

Доказательство «от противного»: пусть прямая с не пересекает прямую а, тогда а||с. Значит, а||b и a||c, то есть через точку М проходит две прямые, параллельные прямой а, что противоречит аксиоме. Значит, предположение неверно, и прямая с пересекает прямую а.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: a||b, b||c.

Доказать: a||c.

Доказательство «от противного»: пусть прямые a и b пересекаются. По условию b||c. Если a пересекает b, то должна пересекать и c, согласно первому следствию. Но по условию a||c. Значит, предположение неверно, и a||b.