Математика

108. Сумма углов треугольника.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Дано:

$⊿\mathit{АВС}$

Доказать:

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=180°$

Доказательство:

Проведем через точку С, вершину треугольника АВС, прямую а, параллельную основанию треугольника АВ.

Т.к. а $\parallel \mathit{АВ}$, то $\angle 1=\angle 4$ (как накрест лежащие при а $\parallel \mathit{АВ}$ и секущей АС), а $\angle 3=\angle 5$ (как накрест лежащие при а $\parallel \mathit{АВ}$ и секущей СВ).

$\angle 4+\angle 2+\angle 5=180°$, так как в сумме они составляют развернутый угол с вершиной С.

Заменим в этом равенстве $\angle 4$ на равный ему $\angle 1$, а $\angle 5$ на равный ему $\angle 3$.

Получится $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180°$, что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Если все углы треугольника острые, то такой треугольник называется остроугольным. Если у треугольника есть тупой угол, то такой треугольник называется тупоугольным. Если у треугольника есть прямой угол, то такой треугольник называется прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.

Раз уж мы заговорили об углах треугольника, давайте рассмотрим еще одно понятие – внешний угол треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Докажем утверждение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.

Дано:

АВС – треугольник

Доказать:

$\angle 4=\angle 1+\angle 3$

Доказательство:

$\angle 4+\angle 2=180°$ (так как они смежные);

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=180°$ (по теореме о сумме углов треугольника).

Раз правые части этих равенств равны, то можно приравнять и их левые части:

$\angle 4+\angle 2=\angle 1+\angle 2+\angle 3$

Следовательно, $\angle 4=\angle 1+\angle 3$, что и требовалось доказать.