Математика

109. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема. В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол;
2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Докажем каждое утверждение отдельно.

1. Дано: АВ>АС.

   Доказать: ∠С>∠В.

   Доказательство:

   

   На стороне АВ отложим отрезок AD так, что AD = AC. Так как по условию AB>AC, то точка D будет лежать на стороне AB. Проведем отрезок CD и получим равнобедренный треугольник ACD. В равнобедренном треугольнике ∠1=∠2.

   ∠B<∠2, так как ∠2 – внешний для треугольника BCD.

   ∠ACB>∠1, так как ∠ACD = ∠1+∠3.

   Значит, ∠ACD > ∠1 = ∠2 > ∠B. Следовательно, ∠ACD>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

   Доказать: АВ>AC

   Доказательство:

   

   Докажем методом от противного.

   Если AB = AC, то ∠С = ∠В по свойству равнобедренного треугольника, что противоречит условию.

   Если AB 335320AC, то ∠С<∠В по предыдущей доказанной теореме, что противоречит условию.

   Остаётся только случай АВ>АС, другие случаи невозможны. Что и требовалось доказать.

Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Самый большой угол в прямоугольном треугольнике – прямой, так как сумма всех углов равна 180° и в треугольнике не может быть двух углов ≥ 90°. Значит, напротив большего угла лежит большая сторона – это гипотенуза.

Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В = ∠С

Доказать: АС = АВ

Доказательство:

Докажем методом от противного. Если стороны имеют разные длины, например АВ>АС, то по теореме ∠С>∠В, что противоречит условию. Значит, предположение неверно, AB = AC, что и требовалось доказать.

Теорема о неравенстве треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано: ΔАВС.

Доказать: АВ<АС+СВ.

Доказательство:

Продолжим сторону AC на отрезок CD, выбрав точку D так, что CD = BC. Получим равнобедренный треугольник BCD, в котором ∠1=∠2.

В треугольнике ABD напротив большего угла лежит большая сторона. ∠ABD>∠ADB, следовательно, AD>AB. Так как AD = AC+CD, получаем AC+CD>AB, что и требовалось доказать.

Запишем эту теорему для всех сторон треугольника.

АВ < AC + CB

BC < BA + AC

CA < CB + BA