Математика

110. Прямоугольные треугольники.

Ранее мы уже знакомились с признаками равенства треугольников. Напомним их:

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой.

Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна 180°, легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников.

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой.

Дано:

АС = A₁C₁

BC = B₁C₁

Доказать: △ABC =△A1B1C1

Доказательство: вспомним, что в прямоугольных треугольниках: ∠C = ∠C₁ =90°. Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: △ABC =△A1B1C1.

2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Дано:

AC = A₁C₁

∠A = ∠A₁

Доказать: △ABC =△A1B1C1

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов ∠C = ∠C₁ =90°. Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: △ABC =△A1B1C1.

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Дано:

AB = A₁B₁

∠A = ∠A₁

Доказать: △ABC =△A1B1C1

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, а из свойств прямоугольных треугольников следует, что ∠C = ∠C₁ =90°. Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: △ABC =△A1B1C1.

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Дано:

AB = A₁B₁

AC = A₁C₁

Доказать:△ABC =△A1B1C1

Доказательство: так как ∠C = ∠C₁ =90°, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁B₁C₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В_1. Поскольку AC=A₁C₁, то вершина А совместится с вершиной А₁. Но тогда вершины В и В₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка В совместится с некоторой другой точкой В₂ луча С₁В₁, то получим равнобедренный треугольник А₁В₁В₂, в котором углы при основании В₁В₂ не равны (∠В₂ – острый, а ∠В₁ – тупой как смежный с острым углом А₁В₁С₁). Но это невозможно, поэтому вершины В и В₁ совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники △ABC и△A1B1C1, то есть они равны.

Свойства прямоугольного треугольника.

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Доказательство. Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Учитывая тот факт, что ∠C = 90°, получаем, что сумма оставшихся двух углов равна 90°. То есть, ∠А + ∠В= 90°

Свойство 2. Катет, лежащий против угла в 30°, в 2 раза меньше гипотенузы.

Дано:

∠CAB = 30°

Доказать: AB=2ВС

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую ВС за точку С на отрезок, равный ВС. Получим точку D. Так как углы ACB и ACD – смежные, то их сумма равна 180°. Поскольку ∠ACB = 90°, то и ∠ACD = 90°.

Значит, прямоугольные треугольники ACB и ACD равны (по двум катетам: AC – общий, BC = CD – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠BAC = ∠DAC = 30° . Откуда: ∠DAB = 60°. Кроме того, ∠B = ∠D (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник ⊿DAB – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60°, – равносторонний. Из этого следует, в частности, что AB = DB = 2BC, что и требовалось доказать.

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.