Математика

111. Построение треугольников по трем элементам.

При решении задач на построение требуется построить фигуру при помощи двух инструментов: циркуля и линейки без делений.

Также с помощью линейки без делений можно провести произвольную прямую и построить прямую, проходящую через две точки.

С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса и окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Задача 1. Построим треугольник по трём заданным его сторонам.

Пусть даны отрезки:

Отложим один из отрезков на произвольной прямой:

Построим окружность с центром в точке А и радиусом а и окружность с центром в точке В и радиусом b:

Точка С – одна из точек пересечения этих окружностей. Соединили точку С с точками А и В и получили искомый треугольник АВС.

Построение верно, так как у полученного треугольника АВС: АВ = c, АС = b, ВС = а.

Задача имеет решение, если для данных отрезков выполняется неравенство:

a < b + c

b < a + c

c < a + b

Если решение этой задачи существует, то оно является единственным, так как все построенные треугольники будут равны по трём сторонам, то есть по третьему признаку равенства треугольников.

Задача 2. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Пусть даны отрезки а и b и ∠С₁. Проведём произвольную прямую и на ней отметим точку С. Нужно построить ∠С=∠С₁.

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке С₁:

Окружность пересекает стороны угла в точках А₁ и В₁.

Проведём окружность такого же радиуса с центром в точке С:

Она пересекает луч СM в точке О.

Построим окружность с центром в точке О радиуса А₁В₁:

Окружности с центрами в точках С и О пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой Е. Докажем, что угол МСЕ - искомый угол.

Рассмотрим треугольники А₁В₁С₁ и ОСЕ. Отрезки С₁А₁ и С₁В₁ равны как радиусы окружности с центром в точке С₁. А отрезки СО и СЕ – как радиусы окружности с центром в точке С. А так как по построению данные окружности имеют равные радиусы, то отрезки С₁А₁, С₁В₁, СО и СЕ равны между собой. А также у нас по построению В₁А₁ = ОЕ.

Следовательно, треугольники А₁В₁С₁ и ОСЕ равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому ∠А₁В₁С₁ = ∠ОСЕ. То есть построенный ∠МСЕ равен углу с вершиной в точке С₁.

Построив ∠С = ∠С₁, отложим на одной стороне угла отрезок СА = b, а на другой - СВ = а. Затем соединим точки А и В и получим треугольник АВС, который и является искомым.

Это верно, так как по построению сторона СВ = а, сторона СА = b, а ∠С = ∠С₁.

Решение этой задачи всегда существует и является единственным, так как все построенные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников.

Задача 3. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть даны отрезок а и углы В₁ и С₁.

Отложим на произвольной прямой отрезок ВС = а и построим угол равный углу В₁ с вершиной в точке В и угол равный углу С₁ с вершиной в точке С. Точку пересечения лучей этих углов обозначим буквой А. В результате получим:

Получили треугольник АВС, который и является искомым.

Решение данной задачи существует только, если выполняется условие:

∠B₁+∠C₁<180°

И если решение существует, то оно единственное, так как все построенные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.