Математика

Тема 7: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Урок 2: Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

93. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений.

Решим задачу. Сумма двух чисел равна 16, а разность – 2. Найдите эти числа.

Обозначим первое число за х, а второе – за у. Тогда сумму чисел запишем как х+у, а разность – х-у.

Так как сумма чисел равна 16, то запишем первое уравнение х+у = 16. Так как разность чисел равна 2, то запишем второе уравнение х-у = 2. Мы составили два уравнения с двумя неизвестными. Надо найти такое решение, которое обращало бы каждое из этих уравнения в верное равенство. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений.

Уравнения записывают одно под другим, а рядом – фигурную скобку.

$\{\begin{matrix} x + y = 16 \\ x - y = 2 \end{matrix}$

Пара значений (9;7) является решением для каждого уравнения. Действительно,

$\{\begin{matrix} 9 + 7 = 16 \\ 9 - 7 = 2 \end{matrix}$

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Системы линейных уравнений, имеющие одинаковые решения, называются равносильными. Системы линейных уравнений, которые не имеют решений, также считаются равносильными.

Как же найти решение системы линейных уравнений? Первый способ – графический способ решения системы линейных уравнений. Начертим график первого линейного уравнения и график второго линейного уравнения на одной координатной плоскости. Точка, в которой эти графики пересекаются, и будет решением.

Найдем решение системы линейных уравнений графическим способом. Для этого сначала выразим переменную у из каждого уравнения.

$\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 6 \\ x - y = - 11 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 5 y = 6 - 2 x \\ y = x + 11 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} y = \frac{6 - 2 x}{5} \\ y = x + 11 \end{matrix}$

Построим графики функций $y = \frac{6 - 2 x}{5}$ и $y = x + 11$ . Каждый из графиков представляет собой прямую, пересекающуюся с осями координат. Найдем точки пересечения каждого из графиков с осями координат. В каждом случае это будут две точки. Через эти две точки проведем прямую. У нас получатся две пересекающиеся прямые.

$y = \frac{6 - 2 х}{5}$

х	0	3
у	6/5	0

$y = x + 11$

х	0	-11
У	11	0

Графики пересекаются в точке с координатами (-7;3). Подставим и проверим, будут ли эти значения решением для системы уравнений

$\{\begin{matrix} 4 = \frac{6 - 2 (- 7)}{5} \\ 4 = - 7 + 11 \end{matrix}$

Равенства выполняются.

Если графики линейных уравнений пересекаются, система имеет одно решение. Если они параллельны, то система не имеет решений. Если прямые совпадают, то решений бесконечно много.

Рассмотрим другие способы решения системы линейных уравнений.

Второй способ – способ подстановки.

Решим систему уравнений

$\{\begin{matrix} 5 х + y = 6 \\ x - y = 18 \end{matrix}$

Выразим у из второго уравнения

$\{\begin{matrix} 5 x + y = 6 \\ y = x - 18 \end{matrix}$

И подставим в первое уравнение

$\{\begin{matrix} 5 x + (х - 18) = 6 \\ y = x - 18 \end{matrix}$

Тогда

$\{\begin{matrix} 6 x - 18 = 6 \\ y = x - 18 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 6 x = 24 \\ y = x - 18 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = х - 18 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = - 14 \end{matrix}$

Ответ: (4;-14).

Третий способ – способ сложения.

Решим систему уравнений

$\{\begin{matrix} 2 x - 5 y = 12 \\ x + 5 y = 0 \end{matrix}$

Мы видим, что коэффициент при у в первом уравнении и коэффициент при у во втором уравнении – противоположные числа 3 и -3. Cложим почленно первое и второе уравнение и заменим первое уравнение системы тем, которое получится.

$\{\begin{matrix} (2 x - 5 y) + (x + 5 y) = 12 + 0 \\ x + 5 y = 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 3 x = 12 \\ x + 5 y = 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 \\ x + 5 y = 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 \\ 4 + 5 y = 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = - \frac{4}{5} \end{matrix}$

Ответ: $(4; - \frac{4}{5})$ .

Решим еще одну систему уравнений

$\{\begin{matrix} 5 x + 10 y = 18 \\ 10 x - 7 y = 90 \end{matrix}$

Почленное сложение уравнений ничего нам не даст.

Умножим обе части первого уравнения на -2. Получим

$\{\begin{matrix} - 10 x - 20 y = - 36 \\ 10 x - 7 y = 90 \end{matrix}$

Вот теперь можно применить способ сложения

$\{\begin{matrix} - 27 y = 54 \\ 10 x - 7 y = 90 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} y = - 2 \\ 10 x - 7 y = 90 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} y = - 2 \\ 10 x + 14 = 90 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} y = - 2 \\ x = 7 \frac{3}{5} \end{matrix}$

Ответ: ( $7 \frac{3}{5}$ ;-2).

Урок 1

Вернуться к теме Урок 3