Математика

94. Решение задач с помощью систем уравнений.

Некоторые задачи проще решать с помощью системы уравнений. Обычно это те задачи, в которых нужно найти две величины. Существует алгоритм, выполняя который легко решать задачи с помощью системы уравнений.

Чтобы решить задачу с двумя неизвестными, нужно:

1. Обозначить неизвестные величины буквами (обычно это те величины, значения которых и нужно найти в задаче).
2. Используя условие задачи, составить систему линейных уравнений.
3. Решить систему.
4. Истолковать полученный ответ в соответствии с условием задачи.

Пример 1. Основание равнобедренного треугольника на 8 дм больше боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 44 дм.

Решение: у треугольника три стороны. Длины этих сторон нам неизвестны. Но нам известно, что треугольник равнобедренный – это значит, что его боковые стороны равны. То есть у нас есть две неизвестные величины: длина боковой стороны и длина основания.

Пусть х (см) – длина боковой стороны равнобедренного треугольника,

у (см) – длина основания равнобедренного треугольника.

Так как нам известно, что основание треугольника больше его боковой стороны на 7 дм, мы можем составить первое уравнение

у-х = 8

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Выразим ее через переменные х и у.

х+х+у = 2х+у (дм)

Нам известно, что периметр треугольника равен 44 дм. Используя это, составим второе уравнение

2х+у = 45

Запишем систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c}y-x=8\\ 2x+y=44\end{array}\right.$

Умножим первое уравнение на 2

$\left\{\begin{array}{c}2y-2x=16\\ 2x+y=44\end{array}\right.$

Применим способ сложения

$\left\{\begin{array}{c}3y=60\\ 2x+y=44\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}y=20\\ 2x+20=44\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}y=19\\ 2x=24\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}y=20\\ x=12\end{array}\right.$

Мы получили два числа. Вспомним, что за х мы обозначали боковую сторону треугольника, значит, боковая сторона треугольника равна 12 см. А за у обозначали основание треугольника. То есть основание треугольника равно 20 см. В задаче требуется найти только боковую сторону треугольника. Значит ответ будет выглядеть так: боковая сторона треугольника равна 12 см.