Математика

Задача 1

 

Условие: на прямой a найти точку, равноудаленную от точек a и b.

 

Решение:

Дано: прямая a, две точки A и B.

Подобные задачи удобно решать методом геометрических мест.

 

Искомая точка должна лежать на прямой a (по условию) (рис. 1).

а)  

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Искомая точка должна лежать на серединном перпендикуляре p к отрезку AB по свойству этого серединного перпендикуляра (рис. 2).

б) p

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Серединный перпендикуляр к отрезку AB есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка AB.

Точка M – это пересечение прямой a и серединного перпендикуляра p, если она существует, дает решение задачи.

в)

Следует помнить, что не всегда задача имеет решение.

Если отрезок , то серединный перпендикуляр , то задача не имеет решений (рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Ответ: задача имеет единственное решение, если AB не перпендикулярна прямой a. Этим решением является в точке . Если , то задача не имеет решений.

 

Прикладное значение задачи 1

 

 

Предположим, что A и B – населенные пункты, а вдоль прямой a прокладывается железная дорога. Где найти место для станции, если она должна быть равноудалена от населенных пунктов A и B? Это точка M. Но если AB почти перпендикулярна прямой a, то равное справедливое расстояние MA и MB велико и неудобно для всех жителей (рис. 4).

 

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Вывод: математическая постановка решенной задачи не вполне соответствует интересам жителем.

 

Задача 2

 

 

Задача 2 – минимизация суммарных издержек на перевозки из A и B до станции N

 

Условие: На прямой a найти такую точку N, при которой сумма NA+NB минимальна для всех точек прямой a(рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

1. Случай, когда  – самое лучшее место расположения точки N, точка пересечения прямой  (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 

2. Случай, когда AB не перпендикулярна a. Проведем перпендикуляр AK из точки A к прямой a и отложим A₁K=AK, затем соединим точку B с точкой A₁. Пересечение A₁Bс прямой a даст точку N (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Докажем, что так полученная точка N, является решением задачи.

Сравниваем первую сумму , со второй суммой , где N₁ – любая точка на прямой а (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Учтем, что прямая a– это серединный перпендикуляр к отрезку AA₁, а значит, , . Значит, , по неравенству треугольников .

Ответ: станция в точке Nобеспечивает минимум суммарных затрат на перевозки из пункта A и B.

На этом уроке мы решили задачи на построение и обсудили их прикладное значение. Выяснили, что математическая постановка некоторых задач может не вполне соответствовать действительности.

 

Список литературы

1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
2. В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Problems.ru (Источник).
2. Geometry.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а.
2. Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой. Проведите две пересекающиеся прямые a и b. Отметьте точку С пересечения прямых; точку А на прямой a, не лежащую на прямой b точку D, не лежащую ни на одной из прямых a и b.
3. Задан остроугольный треугольник , постройте его высоту и медиану, выходящие  из точки .